Logarithmus aus Formel wegbringen

08.09.2019, 22:37

cheat.008

Logarithmus aus Formel wegbringen

Guten Abend,

ich hoffe in diesem Bereich hier nicht all zu falsch zu liegen aber ich benötige für ein derzeitiges Projekt dringend mathematische Unterstützung.
Das Ziel ist es, die folgende Formel komplett von ln und log (allg. dem Logarithmus) zu befreien:

$\begin{eqnarray*} \log_{10}(x) = -4,51 * \ln(log_{10}(y))+8,2194 \end{eqnarray*}$

Ich hatte zunächst versucht den log auf der linken Seite wegzubekommen durch Umstellen zu:

$\begin{eqnarray*} x = 10^{-4,51*ln(\log_{10}(y))+8,2194} \end{eqnarray*}$

und dann noch:

$\begin{eqnarray*} x = 10^{-4,51*ln(\log_{10}(y))} * 10^{8,2194} \end{eqnarray*}$

An der Stelle komme ich einfach auf keinen grünen Zweig und bitte um Hilfe.

Schöne Grüße

08.09.2019, 22:59

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RE: Logarithmus aus Formel wegbringen
Für $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} r=10^{\log_{10}r} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \ln r=\log_{10}(r)\ln(10) \end{eqnarray*}$ . Damit kann man sich den ln vom Hals schaffen.

09.09.2019, 08:25

cheat.008

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Ich bekomme deinen Lösungsvorschlag nicht umgesetzt.
Könntest du mir das bitte an meinem Beispiel zeigen. Danke

09.09.2019, 10:13

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Aus $\begin{eqnarray*} \log_{10}(x) = -4,51 * \ln(log_{10}(y))+8,2194 \end{eqnarray*}$ wird
$\begin{eqnarray*} \log_{10}(x) = -4,51 \log_{10}(log_{10}(y))\ln(10)+8,2194 \end{eqnarray*}$
Jetzt benutze $\begin{eqnarray*} a\log_{10}(b)=\log_{10}(b^a) \end{eqnarray*}$

09.09.2019, 13:47

cheat.008

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$\begin{eqnarray*} \log_{10}(x) = \log{10}(\log{10}(y)*ln(10))^{-4,51} + 8,2194 \end{eqnarray*}$

09.09.2019, 13:49

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Das ist nicht richtig

Zitat:

Original von cheat.008
$\begin{eqnarray*} \log_{10}(x) = \log_{10}(\log_{10}(y)\textcolor\red{*ln(10)})^{-4,51} + 8,2194 \end{eqnarray*}$

09.09.2019, 13:55

HAL 9000

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Ich hatte gedacht, das Ziel wäre es, alle Logarithmen wegzukriegen (und wenn es auf Kosten irgendwelcher dann entstehender Potenztürme sei...)!

Dazu würde ich zunächst $\begin{eqnarray*} \ln(\lg(y)) \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite isolieren (ich nutze das übliche $\begin{eqnarray*} \lg=\log_{10} \end{eqnarray*}$ ), das bekommt man unter zusätzlicher Nutzung von $\begin{eqnarray*} \lg(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} \end{eqnarray*}$ so hin:

$\begin{eqnarray*} \lg(x) = -4{,}51\ln(\lg(y)) + 8{,}2194 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\ln(x)}{\ln(10)}-8{,}2194}{-4{,}51} = \ln(\lg(y)) \end{eqnarray*}$

Mit den Abkürzungen $\begin{eqnarray*} a := -\frac{1}{4{,}51 \ln(10)}\approx -0.0963 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b := \exp\left(\frac{8{,}2194}{4{,}51}\right)\approx 6.187 \end{eqnarray*}$ erhält man nach Exponentieren

$\begin{eqnarray*} \ln(lg(y)) = a\ln(x) + \ln(b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg(y) = b x^a \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlt nur noch ein Schritt, um auch den letzten Logarithmus loszuwerden.

09.09.2019, 14:01

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Ich hätte das ganze auf lg umgestellt und dann zweimal exponentiert. Also wo ist der Unterschied? verwirrt

09.09.2019, 14:03

cheat.008

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich hatte gedacht, das Ziel wäre es, alle Logarithmen wegzukriegen (und wenn es auf Kosten irgendwelcher dann entstehender Potenztürme sei...)!

Ja exakt das ist das Ziel.
Danke für deinen Ansatz, den ich nun mal studieren werde.

09.09.2019, 14:14

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dann bin ich hier weg

09.09.2019, 14:16

cheat.008

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Dein Ansatz funktioniert doch bestimmt auch, nur ich habe leider einfach zu wenig Ahnung und Erfahrung mit dem Logarithmus, als dass ich das so umzusetzen könnte wie du das meinst.

09.09.2019, 14:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von URL
Ich hätte das ganze auf lg umgestellt und dann zweimal exponentiert. Also wo ist der Unterschied? verwirrt

Den bisherigen Plan

Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} \log_{10}(x) = -4,51 \log_{10}(log_{10}(y))\ln(10)+8,2194 \end{eqnarray*}$
Jetzt benutze $\begin{eqnarray*} a\log_{10}(b)=\log_{10}(b^a) \end{eqnarray*}$

würde ich so deuten, dass du hier sofort exponentieren willst.
Wie danach ein sofortiges zweites Exponentieren funktionieren soll, so dass auch der innere Logarithmus verschwindet, kann ich nicht sehen. Dazu muss nach meiner Ansicht Faktor $\begin{eqnarray*} -4,51\ln(10) \end{eqnarray*}$ verschwinden (d.h. dadurch dividieren, was ich ja de facto gemacht hatte bzw. nach dem ersten Exponentieren eine gewisse Wurzel ziehen). So richtig deutlich wird dieser m.E. notwendige Schritt in dem Plan nicht - aus keinem anderen Grund erfolgte meine Intervention.

09.09.2019, 14:35

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So war auch mein Plan. Allem Anschein nach ist er in deiner Darstellung klarer geworden als in meiner Wink

09.09.2019, 15:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von URL
Allem Anschein nach ist er in deiner Darstellung klarer geworden als in meiner

Weil ich mich des Taschenspielertricks bedient habe, die vorhandenen Konstanten so zu neuen Konstanten $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ zu arrangieren, die das ganze einfacher aussehen lassen. Big Laugh

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