Integral von |sin(t/2 - pi/4)|

10.09.2019, 15:59

Gast006

Integral von |sin(t/2 - pi/4)|

Meine Frage:
Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2 \pi} 2 \cdot |\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}| dt \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wie berechne ich das Integral hieraus ?

10.09.2019, 16:42

Steffen Bühler

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RE: Integral von |sin(t/2 - pi/4)|
Am einfachsten abschnittsweise:

Viele Grüße
Steffen

10.09.2019, 16:53

HAL 9000

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Man kann alternativ auch die $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -Periodizität des Integranden nutzen und das Integrationsintervall so verschieben, dass der Betrag problemlos auflösbar ist, d.h., auch ohne Fallunterscheidung.

10.09.2019, 17:49

Gast006

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Also das Integral sollte eigentlich wie folgt heissen:
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{2} \cdot \left|\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right| dt \end{eqnarray*}$

und bin wie folgt vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \int_{0}^{2 \pi} \left|\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right| dt \end{eqnarray*}$

Dann habe ich folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{2} \cdot \left[\int_{0}^{\pi} \sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} dt - \int_{\pi}^{2 \pi}\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} dt\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{2} \cdot \left[-2 \cos{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}|_{0}^{\pi} + 2 \cos{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}|_{\pi}^{2 \pi}\right] \end{eqnarray*}$

Als nächsten Schritt bekomme ich dann das heraus:
$\begin{eqnarray*} 4 \sqrt{2} \left[ \cancel{-\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}} + \cancel{\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}} + \cos{\left(\frac{3 \pi}{4}\right)} - \cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4 \sqrt{2} \cdot \cos{\left(\frac{3 \pi}{4}\right)} - 4 \sqrt{2} \cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)} \end{eqnarray*}$

Und da kommt 0 raus.
Laut Wolfram Alpha soll hier 8 rauskommen.
Wo könnte der Fehler sein ?

10.09.2019, 18:20

HAL 9000

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RE: Integral von |sin(t/2 - pi/4)|
Du nimmst in deiner Betragsauflösung an

$\begin{eqnarray*} \left|\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right| \stackrel{?}{=} \sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq \pi \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \left|\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right| \stackrel{?}{=} -\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \pi\leq t\leq 2\pi \end{eqnarray*}$ .

Beides ist falsch, genauer gesagt: Nicht durchgängig richtig auf diesen Intervallen. Ich plotte nochmal Steffens Graph, nur diesmal den Integranden OHNE Betrag:

.

10.09.2019, 20:54

Gast006

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Wie würde man denn die Grenzen anpassen damit ich die Beträge auflösen kann?

10.09.2019, 20:59

HAL 9000

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Siehe Skizze: Es ist

$\begin{eqnarray*} \left|\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right| = -\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \left|\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right| = \sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}\leq t\leq 2\pi \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Aber mein favorisierter Vorschlag war eh ein ganz anderer. Augenzwinkern

10.09.2019, 21:56

Leopold

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HALs Vorschlag als Graphik.

[attach]49673[/attach]

11.09.2019, 00:37

Gast006

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Der Sinus wird doch um -pi/4 und nicht um -pi/2 verschoben.
Wie können dort die Grenzen von pi/2 bis 2pi sein ?
Wären die Grenzen nicht eher von 0 bis pi/4 und von pi/4 bis 9pi/4 ?
Im Graphen sieht es so aus als würde der sinus um pi/2 verschoben sein, was er ja nicht ist.

11.09.2019, 06:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast006
Der Sinus wird doch um -pi/4 und nicht um -pi/2 verschoben.

Offenkundig hast du noch nicht darüber nachgedacht, dass dort $\begin{eqnarray*} \frac{t}{2} \end{eqnarray*}$ statt nur $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ steht - die Standardsinusfunktion wird also nicht nur verschoben, sondern auch noch in x-Richtung gestreckt:

$\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{1}{2}\left(t-\frac{\pi}{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$

11.09.2019, 20:37

Leopold

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[attach]49676[/attach]

11.09.2019, 20:53

Gast006

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Dann müsste ich doch einmal von 0 bis pi/2 und von pi/2 bis 2pi integrieren oder ?

11.09.2019, 21:00

Leopold

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Da kannst du auch ohne Zwischenstopp gleich von 0 bis $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ integrieren.
Was du jedoch stattdessen tun kannst, ist, das Integrationsintervall durch ein gänzlich anderes zu ersetzen, siehe HALs Vorschlag und die Zeichnung aus meinem vorletzten Beispiel. Siehst du es?
Hier ist es viel besser, nicht gleich zu rechnen, sondern sich den Graphen vorzustellen und sich klarzumachen, daß hier nur eine gewisse Fläche berechnet werden soll, die sich auch anderswo findet.

11.09.2019, 21:22

Gast006

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Dazu müsste ich aber die Nullstellen ausrechnen und das ohne Taschenrechner.
Auf pi/2 komme ich noch aber auf 5pi/2 ?
Dann könnte ich 2 mal das Integral von pi/2 bis 5pi/2 ausrechnen aber auf die zweite Nullstelle komme ich nicht.

11.09.2019, 21:33

Steffen Bühler

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Die Kollegen scheinen Dich zu verwirren. smile

Wenn Du meinen Ansatz verwendest, brauchst Du doch nur diese eine Nullstelle. Dann das eine Integral von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \frac {\pi}2 \end{eqnarray*}$ , das zweite von $\begin{eqnarray*} \frac {\pi}2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2 {\pi} \end{eqnarray*}$ , addieren, fertig.

PS: Oder Du siehst dann eben doch, dass diese Fläche dieselbe ist:

11.09.2019, 21:45

Leopold

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Zitat:

Original von Gast006
Dazu müsste ich aber die Nullstellen ausrechnen und das ohne Taschenrechner.
Auf pi/2 komme ich noch aber auf 5pi/2 ?

Der Verlauf des Sinusgraphen, insbesondere die Periodizität, sind natürlich Grundlage, wenn man solche Aufgaben lösen will, egal, welchen Weg man nun einschlägst. Ohne dies geht es schlicht nicht. Da gibt es auch nichts zu rechnen, das muß man wissen. Tut mir leid, wenn ich das so deutlich sagen muß. Alles andere ergibt sich bei dieser Aufgabe aus dem Diagramm, das ich in meinem letzten Beitrag beigesteuert habe, also aus den Veränderungen, denen der Graph unterworfen wird, wenn da $\begin{align*} \frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} \end{align*}$ statt $\begin{align*} t \end{align*}$ steht. Du kannst den Graph an Ort und Stelle lassen, dann mußt du von $\begin{align*} \frac{\pi}{2} \end{align*}$ bis $\begin{align*} \frac{5}{2} \pi \end{align*}$ integrieren, oder du schiebst ihn wieder in den Ursprung zurück, wie es die Graphik von Steffen zeigt.

12.09.2019, 19:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Die Kollegen scheinen Dich zu verwirren. smile

[...] Dann das eine Integral von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \frac {\pi}2 \end{eqnarray*}$ , das zweite von $\begin{eqnarray*} \frac {\pi}2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2 {\pi} \end{eqnarray*}$ , addieren, fertig.

Der eine für die Verwirrung Verantwortliche hat dies im Prinzip schon angemerkt, und zwar 10.09.2019 20:59 . Augenzwinkern

12.09.2019, 23:49

Gast006

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Aber wenn ich von 0 bis pi/2 und von pi/2 bis 2pi integriere, bekomme ich -4 raus.
Hmm.

13.09.2019, 00:45

Gast006

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Also was ich jetzt gerechnet habe war folgendes:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} + \int_{\frac{\pi}{2}}^{2 \pi} -\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2\cos{(0)} + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)} + 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{4}\right)} - 2 \cos{\left(0\right)} = - 2 +\cancel{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(2\right)}}} - \cancel{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(2\right)}}} - 2 = 4 \end{eqnarray*}$
Jetzt sagt mir Wolfram Alpha da kommt -4 raus.
Wie geht das denn ?

13.09.2019, 00:48

Gast006

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Ich meine eigentlich das Wolfram Alpha bei meinem Ergebnis -4 gerade 4 raus hat. Klar ist ja auch das eine Fläche eigentlich nicht negativ sein kann aber wie komme ich da auf die 4 ?

13.09.2019, 06:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast006
aber wie komme ich da auf die 4 ?

Weil du dir trotz wiederholter Hinweise die Beiträge nicht richtig durchliest und auch die Graphen nicht richtig anschaust:

Zitat:

Original von HAL 9000
.

Zitat:

Original von HAL 9000
Siehe Skizze: Es ist

$\begin{eqnarray*} \left|\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right| = -\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \left|\sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right| = \sin{\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}\leq t\leq 2\pi \end{eqnarray*}$ .

Richtig ist demnach

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left(-\sin\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\right) ~ \dd t + \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{2 \pi} \sin\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right) ~ \dd t = \left[ 2\cos\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \left[ -2\cos\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} = 2\cos(0) - 2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 2\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + 2\cos(0) = 4 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: dx in dt korrigiert. Ich sollte eben vor 7 Uhr keine Beiträge verfassen.

13.09.2019, 08:05

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Richtig ist demnach

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left(-\sin\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\right) ~ \color{red} \dd x \color{black} + \ldots \end{eqnarray*}$ .

13.09.2019, 08:42

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Is aber auch verwirrend. Teufel

13.09.2019, 08:42

HAL 9000

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Tja, Copy+Paste von Gast006 durchgeführt, und der hatte das Differential ganz weggelassen. Shit happens. Augenzwinkern

EDIT: Noch einer, der den Typo auskosten will? Immer ran, müllt den Thread damit zu.

13.09.2019, 14:57

Gast006

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Wer hat denn gesagt das ich copy und paste ?
Man kann auch jeden Befehl eintippen, wenn man die drauf hat. smile

13.09.2019, 15:07

Steffen Bühler

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Nein, nicht Du, sondern HAL hat von Dir was gecopypastet, festgestellt, dass Du verwirrenderweise das dt weggelassen hast und, verwirrt wie er war, ein dx eingefügt.

13.09.2019, 15:36

HAL 9000

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