Ungleichung lösen

15.09.2019, 16:34	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung lösen Hallo Leute, ich beschäftige mich gerade mit den Ungleichungen. Ich habe folgendes Beispiel gelöst: $\begin{eqnarray} \|40-x\|\leq 12 \end{eqnarray}$ Lösung habe ich als Foto angehängt. Stimmt die Lösung am Zettel? Nun habe ich aber ein anderes Beispiel, was mir nicht ganz klar ist: $\begin{eqnarray} \frac{\|x+3\|}{\|2x-5\|}\geq 3 \end{eqnarray}$ Hier wird als erstes: $\begin{eqnarray} \|x+3\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|2x-5\| \end{eqnarray}$ zerlegt in: $\begin{eqnarray} \|x+3\|=\begin{pmatrix} x+3 x>-3 \\ 0 x=-3 \\ -\left(x+3\right) x<-3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|2x-5\|=\begin{pmatrix} 2x-5 x>2.5 \\ 0 x=2.5 \\ -\left(2x-5\right) x<2.5\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt müsste ich ja jeweils eine Fallunterscheidung machen. Einmal für $\begin{eqnarray} x> \end{eqnarray}$ und einmal für $\begin{eqnarray} x< \end{eqnarray}$ . Das ganze für $\begin{eqnarray} \|x+3\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|2x-5\| \end{eqnarray}$ . Nun machen die aber nur eine Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray} \frac{x+3}{2x-5} \geq 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{x+3}{2x-5}\leq 3 \end{eqnarray}$ . Warum nicht 1.Fall und 2.Fall für $\begin{eqnarray} \|x+3\| \end{eqnarray}$ und das gleiche nochmal für $\begin{eqnarray} \|2x-5\| \end{eqnarray}$ ? Ich verstehe die Vorgehensweise nicht ganz? Sorry, das die Matrix so unsauber ist aber die Abstände in Latex funktionieren nicht. SG
15.09.2019, 16:45	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Lösungsintervall stimmt. Leider ist davor alles verkehrt, was die Frage aufwirft, wie du auf das richtige Intervall kommst? Zu deiner anderen Frage: Es gilt $\begin{eqnarray} \frac{\|a\|}{\|b\|}=\left\|\frac{a}{b}\right\| \end{eqnarray}$ . Einfacher wäre übrigens deine Ungleichung zu quadrieren.
18.09.2019, 06:24	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist davor alles Falsch? Genauso wurde es mir gezeigt.
18.09.2019, 07:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehe in meinem Beitrag auf "Zitat", um zu sehen, wie man in Latex eine Fallunterscheidung macht: $\begin{align} \|x+3\| = \begin{cases} x+3, & x>-3 \\ 0, & x=-3 \\ -(x+3), & x<-3 \end{cases} \end{align}$ $\begin{align} \|2x-5\| = \begin{cases} 2x-5, & x>2{,}5 \\ 0, & x=2{,}5 \\ -(2x-5), & x<2{,}5 \end{cases} \end{align}$ Die beiden kritischen Stellen $\begin{align} x=-3 \end{align}$ und $\begin{align} x=2{,}5 \end{align}$ unterteilen die Zahlengerade in drei Intervalle (zeichne dir schematisch die Zahlengerade $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ und markiere die beiden Stellen): $\begin{align} I_{\text{links}} = \left( -\infty,-3 \right) \, , \ \ I_{\text{Mitte}} = \left( -3, \frac{5}{2} \right) \, , \ \ I_{\text{rechts}} = \left( \frac{5}{2} , \infty \right) \end{align}$ Die Trennstellen habe ich keinem Intervall zugeordnet, weil du diese bei deinem Vorgehen extra behandelst. Beginnen wir also damit: Was ist bei $\begin{align} x=-3 \end{align}$ und bei $\begin{align} x = \frac{5}{2} \end{align}$ ? Bei der ersten Stelle wird der Zähler des Bruches 0, der Nenner nicht. Damit hat der Bruch den Wert 0, was nicht größer als 3 ist. Keine Lösung. Bei der zweiten Stelle wird der Nenner des Bruches 0, der Zähler nicht, der Bruch ist also gar nicht definiert. Damit sind weder -3 noch $\begin{align} \frac{5}{2} \end{align}$ Lösungen der Ungleichung. Und jetzt mußt du für jedes der drei Intervalle die Ungleichung gesondert untersuchen. Für $\begin{align} I_{\text{links}} \end{align}$ führe ich das einmal für dich durch. 1. FALL: $\begin{align} x \in \left( -\infty,-3 \right) \end{align}$ $\begin{align} \frac{\|x+3\|}{\|2x-5\|} \geq 3 \end{align}$ $\begin{align} \frac{-(x+3)}{-(2x-5)} \geq 3 \end{align}$ $\begin{align} \frac{x+3}{2x-5} \geq 3 \end{align}$ $\begin{align} x+3 \leq 3 \cdot (2x-5) \end{align}$ (warum wird hier aus $\begin{align} \geq \end{align}$ eigentlich $\begin{align} \leq \end{align}$ ?) $\begin{align} x+3 \leq 6x-15 \end{align}$ $\begin{align} 18 \leq 5x \end{align}$ $\begin{align} 3{,}6 \leq x \end{align}$ Unter der Bedingung des 1. Falles müßte also $\begin{align} x \geq 3{,}6 \end{align}$ sein, damit die Ungleichung Lösungen besitzt. Offenbar sind die Forderungen $\begin{align} x<-3 \end{align}$ und $\begin{align} x>3{,}6 \end{align}$ unverträglich. Die Ungleichung besitzt also im 1. Fall keine Lösungen. 2. FALL: $\begin{align} x \in \left( - 3 , \frac{5}{2} \right) \end{align}$ $\begin{align} \frac{\|x+3\|}{\|2x-5\|} \geq 3 \end{align}$ $\begin{align} \frac{x+3}{-(2x-5)} \geq 3 \end{align}$ Jetzt rechne das zu Ende und betrachte dann den 3. Fall. Überlege beim Durchmultiplizieren mit dem Nenner stets, ob $\begin{align} \geq \end{align}$ bleibt oder umgedreht werden muß. Man kann auch anders beginnen, wie offenbar in der Musterlösung. Unter Verwendung der von Mathema genannten Formel bekommt man zunächst $\begin{align} \left\| \frac{x+3}{2x-5} \right\| \geq 3 \end{align}$ Der Betrag einer Zahl ist aber genau dann größer oder gleich 3, wenn die Zahl selbst größer gleich 3 oder kleiner gleich -3 ist. Daher sind nun zwei Ungleichungen zu betrachten: FALL A $\begin{align} \frac{x+3}{2x-5} \geq 3 \end{align}$ FALL B $\begin{align} \frac{x+3}{2x-5} \leq -3 \end{align}$ (Hier ist bei dir ein Fehler.) Du kannst nun beide Ungleichungen getrennt lösen und die Lösungsmengen vereinigen. Jetzt mußt du aber beim Durchmultiplizieren mit dem Nenner Unterfälle betrachten, denn je nachdem dreht sich das Relationszeichen um oder nicht. Es gibt noch weitere Methoden, solche Ungleichungen zu lösen. Egal, wie du es machst, bringe die Vorgehensweisen nicht durcheinander, sondern halte dich an den einmal eingeschlagenen Weg. Wenn du die Aufgabe gelöst hast, dann probiere die anderen Strategien aus.
18.09.2019, 12:46	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deinen ausführlichen Beitrag. Ich werde mir das heute mal genau anschauen. Aber was beim Zettel-Beispiel falsch ist, ist mir nicht klar? Was passt am Zettel nicht. SG
18.09.2019, 13:13	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nun mal nicht \|40 - x\| = 40 - x für x > 40 .
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