Grenzwert einer Folge

15.09.2019, 17:12	Pippen	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge Gegeben sei zB: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ... Es scheint, als könnte man nicht entscheiden, wie diese Folge "im Unendlichen endet". Meine Idee ist nun, dass man diese Entscheidung danach fällt, welcher Wert beim atomaren Cluster zuletzt kommt. Der atomare Cluster der o.g. Folge ist "0 1", so dass die Folge im Unendlichen mit 1 enden würde, was auch intuitiv klar ist, wenn man sich folgende Reihen anschaut: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ... Die Folge 0 1 0 1 ... würde somit anders enden als 1 0 1 0 .... Nun ist meine Entscheidungsregel ziemlich willkürlich, es gäbe zig andere. Meine Verständnisfrage: Ist das beim sog. Grenzwert von Folgen nicht genauso? Der Grund, warum sich der Grenzwert als math. Idee durchsetzte liegt also wohl an seiner Praktikabilität, weil man damit Sachen tun kann, die zu interessanten Ergebnissen führen, richtig? Wie sähe es da mit meiner Idee aus bzw. ist diese Idee überhaupt neu? Noch eine weitere Frage: Ihr seht oben die Pyramide mit den Zahlenreihen, die alle mit 1 enden. Die Pyramide entsteht dadurch, dass mit 01 angefangen und dann an jedes Glied ein weiteres 01 angehangen wird. Wie beweist man, dass jedes weitere Glied dieser Pyramide mit 1 endet...sicherlich mit Induktion, aber wie würde der Beweis konkret aussehen? Kann den mal einer notieren (wenn er sich einfach notieren läßt)?
15.09.2019, 17:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen sind niemals durch ... definiert. Folgen enden nicht, auch nicht im Unendlichen. Eine Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ ist eine Abbildung $\begin{eqnarray} f:\mathbb N\to M, n\mapsto a_n \end{eqnarray}$ mit einer Zielmenge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , eine Folge mit Werten in $\begin{eqnarray} M=\{0,1\} \end{eqnarray}$ ist also eine Abbildung $\begin{eqnarray} f:\mathbb N\to \{0,1\},n\mapsto a_n \end{eqnarray}$ . Grenzwerte sind für konvergente Folgen wohldefiniert. Konvergente 0,1-Folgen haben entweder den Grenzwert 0 (wenn alle Glieder ab einem n gleich 0 sind) oder den Grenzwert 1 (wenn alle Glieder ab einem n gleich 1 sind). Alle anderen 0,1-Folgen sind divergent, d.h. sie habe keinen Grenzwert. Dabei fasse ich 0,1-Folgen als spezielle reelle Folgen auf und benutze den Absolutbetrag für die Definition einer Metrik auf reellen Zahlen. Deine Folge $\begin{eqnarray} (a_n)=(0,1,0,1...) \end{eqnarray}$ kann man definieren durch $\begin{eqnarray} a_n=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ungerade, $\begin{eqnarray} a_n=1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ gerade, sie ist divergent. Nachtrag:Wir können die Folge unauffällig verändern zu $\begin{eqnarray} f:\mathbb N\to M\times M, n\mapsto (0,1) \end{eqnarray}$ , dann hätten wir die konstante Folge ((0,1))=((0,1),(0,1),(0,1),...), und diese wäre konvergent mit dem Grenzwert (0,1).
16.09.2019, 07:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn mit der "Pyramide" eine rekursiv definierte Folge von Worten über dem Alphabet {0, 1} gemeint ist, kann man durch vollständige Induktion beweisen, dass das rechte Zeichen stets gleich 1 ist. Auch diese Folge endet nicht, es bleibt sinnlos, vom "Verhalten im Unendlichen" zu reden. Inzwischen vermute ich, dass du genau dies gemeint hast. Daher gebe ich dir eine rekursive Definition und einen Beweis durch vollständige Induktion. Satz und Definition: Gegeben sei das Alphabet $\begin{eqnarray} M=\{0,1\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M^=\{a_1...a_k:a_j\in M\} \end{eqnarray}$ die Menge der Wörter über $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ mit der Konkatenation $\begin{eqnarray} \circ :M^\times M^\to M^,(a_1...a_k,b_1...b_l)\mapsto a_1...a_kb_1...b_l \end{eqnarray}$ . Sei die Folge $\begin{eqnarray} f:\mathbb N\to M^ \end{eqnarray}$ rekursiv definiert durch $\begin{eqnarray} f(1)=01,f(n+1)=f(n)\circ 01 \end{eqnarray}$ . Sei weiter die Rechtsprojektion $\begin{eqnarray} r:M^\backslash \{\epsilon\}\to M,a_1...a_k\mapsto a_k \end{eqnarray}$ die Funktion, die aus einem nichtleeren Wort das rechte Zeichen auswählt. Dann ist $\begin{eqnarray} r(f(n))=1 \, \forall n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Beweis durch Induktion über $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ : Induktionsanfang $\begin{eqnarray} n=1 . r(f(1))=r(01)=1 \end{eqnarray}$ Induktionsschluss von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} n+1 . r(f(n+1))=r(f(n)\circ 01)=1 \end{eqnarray}$ qed Anmerkung zum Beweis: Die Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray} r(f(n))=1 \end{eqnarray}$ wird im Induktionsschluß nicht benötigt, deshalb ist der Beweis extra einfach. Die Induktionsvoraussetzung wird gebraucht, wenn man $\begin{eqnarray} f(n+1)=01\circ f(n) \end{eqnarray}$ definiert, dann umgeht man die Trivialität und hat einen richtigen sinnvollen Induktionsbeweis. Nachdem der Beweis fertig ist kann man auch den Verstand einschalten und sagen, wenn man links eine 0 und rechts eine 1 hinschreibt, dann steht links eine 0 und rechts eine 1, und das ist immer so. Deine Ideen sind nicht neu und nicht tiefliegend, sie gehören zur Theorie der formalen Sprachen. Immerhin ist anerkennenswert, dass du Ideen hast, vorausgesetzt es sind deine eigenen Ideen. Wichtig auch bei einfachen Sachen ist, dass man sich einfach ausdrückt und mit einfachen Methoden herangeht. Es ist nicht nötig und nicht zielführend, wenn man Geheimnisse sucht wo keine sind und wenn man mit überfrachteten Begriffen wie Unendlichkeit oder sachfremden Begriffen aus der Analysis wie Grenzwert von Folgen operiert.

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