Zwei unendliche, abzählbare Mengen sind gleichmächtig |
16.09.2019, 16:56 | MaPalui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zwei unendliche, abzählbare Mengen sind gleichmächtig ich habe im Skript folgendes stehen: " und sind abzählbar, also gleichmächtig, da nicht endlich". An sich ist die Aussage ja nicht schwer, aber ich wollte wissen, ob ich das Konzept denn wirklich verstanden habe. Da wir keinen Beweis geführt haben gehe ich von der Tatsache im Titel aus. Ist es überhaupt "notwendig", dies zu beweisen? Oder ist das eine Definitionssache? Denn wenn ich einen Beweis führen wollte, käme ich ja nicht um die Definition der (Gleich)mächtigkeit herum. Dies aber würde auf das in diesem Zusammenhend recht ominöse führen. Also gehe ich davon aus, dass es nach Definition entsprechend so angenommen wird. Oder habe ich hier etwas grundlegendes übersehen? Vielen Dank Maren |
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16.09.2019, 17:02 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Zwei unendliche, abzählbare Mengen sind gleichmächtig https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_er...iagonalargument |
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16.09.2019, 18:40 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Def: Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn es eine Bijektion gibt. Def: Zwei Mengen und sind gleichmächtig, wenn es eine Bijektion gibt. Sind und zwei abzählbar unendliche Mengen, dann gibt es (per def 1) Bijektionen , also die Bijektion, also die Bijektion. Also sind und (per def 2) gleichmächtig. Selbstverständlich muss man jede Aussage beweisen, denn nur was man beweisen kann, kann man wissen. |
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18.09.2019, 12:45 | MaPalui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich danke euch sehr für eure Antworten. Das hat mir die Frage gelöst, danke! LG Maren |
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20.09.2019, 19:37 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dieser Beweis basiert letztlich auf der Transitivität (A -> B, B -> C, dann A -> C). Verständnisfrage: Die Transitivität können wir annehmen, weil sie als Tautologie ein Theorem auch der Mengenlehre ist, richtig? |
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20.09.2019, 21:53 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, es geht nicht um Transitivitaet. Man kann leicht beweisen, dass die Komposition von bijektiven Abbildungen bijektiv ist. |
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