Umkehrfunktion

20.10.2019, 22:43

sisko3

Umkehrfunktion

Meine Frage:
Hallo wie kann ich die Umkehrfunktion von :

$\begin{eqnarray*} x(w_1,w_2)=3w_1+2w_2 \in R \end{eqnarray*}$ berechnen?

Meine Ideen:
Das muss doch eine Funktion sein die von einem Wert abhängt und zwei Werte ausspuckt Big Laugh

wie kriege ich das hin

20.10.2019, 22:50

Leopold

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Unter "normalen Umständen", zum Beispiel $\begin{align*} w_1,w_2 \in \mathbb{R} \end{align*}$ , ist $\begin{align*} x \end{align*}$ nicht umkehrbar. Aber was ist schon normal im Leben!
Deine Beschreibung der Aufgabe ist viel zu oberflächlich, als daß man da irgendetwas sagen könnte.

20.10.2019, 23:42

sisko3

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Es geht um die b)

21.10.2019, 10:24

HAL 9000

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Nach einer Umkehrfunktion ist hier überhaupt nicht gefragt, sondern nach Messbarkeit. Und die ist aber trivial, wenn die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra eine Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist (was hier zutrifft). In solchen Fällen ist jede Funktion $\begin{eqnarray*} X:\;\Omega\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ messbar!

P.S.: Dennoch hast du hier insoweit Recht, dass das konkret hier angegebene $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ tatsächlich injektiv ist, d.h., dass zumindest $\begin{eqnarray*} X:\Omega\to W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} W:=X(\Omega) \end{eqnarray*}$ eine Umkehrfunktion besitzt. Spielt aber wie gesagt für die Messbarkeit keine Rolle.

21.10.2019, 11:32

sisko3

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Hallo Hal9000 danke für die Antwort. Ich arbeite mit der folgenden Definition (siehe Bild)

Ist die Sigma Algebra in diesem Fall nicht kleiner als die Potenzmenge ?
Also:
$\begin{eqnarray*} F=\left\{ \left\{ \right\} ,\left\{(-1,-2)\right\},\left\{(-1,2)\right\},\left\{(1,-2)\right\},\left\{(1,2)\right\} ,\Omega\right\} \end{eqnarray*}$

Das wären ja genau die Ereignisse die auftreten können..

Mich interessiert es wie die Umkehrfunktion von so einer Funktion aussieht. Mit einer Fkt mit einer veränderlichen ist ja klar wie die Umkehrfunktion aussieht, aber in diesem Fall ?

Muss man etwa einmal nach w1 und einmal nach w2 umformen ?

21.10.2019, 11:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von sisko3
$\begin{eqnarray*} F=\left\{ \left\{ \right\} ,\left\{(-1,-2)\right\},\left\{(-1,2)\right\},\left\{(1,-2)\right\},\left\{(1,2)\right\} ,\Omega\right\} \end{eqnarray*}$

Du kennst die Eigenschaften einer $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra? Das ist nämllich gar keine. unglücklich

21.10.2019, 11:47

Sisko3

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Stimmt du hast Recht tut mir leid.
Dann hat sich das eigentlich erledigt ich würde aber trotzdem rein aus Interesse wissen wie die Umkehrfunktion bei so einer Funktion aussieht. Kannst du mir da helfen ?

21.10.2019, 11:54

HAL 9000

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Rechne doch einfach die vier möglichen Funktionswerte der Funktion $\begin{eqnarray*} X(\omega) = X((\omega_1,\omega_2))=3\omega_1+2\omega_2 \end{eqnarray*}$ aus:

$\begin{eqnarray*} X((-1,-2) = -7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X((1,-2) = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X((-1,2) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X((1,2) = 7 \end{eqnarray*}$

D.h., es ist $\begin{eqnarray*} W=\{-7,-1,1,7\} \end{eqnarray*}$ der Wertebereich von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , und wie $\begin{eqnarray*} X^{-1}:\;W\to\Omega \end{eqnarray*}$ dann aussieht, sollte wohl klar sein.

21.10.2019, 11:59

sisko3

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Das hatte ich schon berechnet allerdings ist mir immer noch nicht klar wie die Umkehrfunktion aussieht.

Etwa so:

$\begin{eqnarray*} w_{1}=\frac{y-2w_{2}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_{2}=\frac{y-3w_{1}}{2} \end{eqnarray*}$

?

21.10.2019, 13:17

HAL 9000

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Die Umkehrfunktion ist schlicht durch

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(-7) =(-1,-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{-1}(-1) =(1,-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{-1}(1) = (-1,2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{-1}(7) = (1,2) \end{eqnarray*}$

gegeben. Ob man das ganze dann noch in einen "geschlossenen" Term umwandeln kann, ist doch sekundär. Aber bitte, auch das geht: $\begin{eqnarray*} X^{-1}(y) = \left( (-1)^{\frac{y+1}{2}},2\operatorname{sgn}(y)\right) \end{eqnarray*}$ . Big Laugh

21.10.2019, 13:24

Sisko3

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Ohh schön

Wie kamst du denn auf diesen geschlossenen Term ?

21.10.2019, 13:27

HAL 9000

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Durch Einsatz meiner großartigen und unermesslichen Weisheit. smile

21.10.2019, 14:33

Sisko3

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Wow Super gemacht :thumb Big Laugh

21.10.2019, 16:06

Steffen Bühler

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Mit weniger Weisheit kann man natürlich auch einfach zwei Polynome dritten Grades verwenden, um die jeweils vier Wertepaare zu verbinden.

Viele Grüße
Steffen

21.10.2019, 17:18

HAL 9000

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Programmierer würden in einem Fall wie dem hier wohl schlicht eine kleine LUT verwenden statt die von mir oder Steffen vorgeschlagenen "Funktionen" zu implementieren. Augenzwinkern

21.10.2019, 17:24

Steffen Bühler

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Wobei mir jüngere Programmierkollegen neulich erklärt haben, dass LUTs sowas von Neunzigern sind. Speicherzugriffe kosten wohl mittlerweile mehr Zeit als die direkte Berechnung durch die floating point units der verschiedenen cores.

21.10.2019, 17:25

HAL 9000

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Das stelle ich ernsthaft in Zweifel - ganz gewiss auf den Microcontrollern, mit denen ich gelegentlich zu tun habe. Augenzwinkern

Außerdem sind Speicherzugriffe und Speicherzugriffe verschiedene Dinge: Eine so kleine LUT wie hier (die im L1-Cache abläuft) kann man nicht mit einer Megabyte-großen vergleichen.

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