Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen

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spniti Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen
Hey smile

wir haben in der letzten Vorlesung über geordnete Paare, Korrespondenzen, Relationen, Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen geredet. Geordnete Paare habe ich noch verstanden, Korrespondenzen habe ich glaube ich mittlerweile auch halbwegs verstanden aber den Rest, von dem leider auch unser aktuelles Übungsblatt handelt, kann ich noch nicht so ganz nachvollziehen.

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand zu den Aufgaben sagen könnte was man machen muss und warum, denn aus den Folien, Internetseiten und Videos erschließt sich mir bisher nicht viel.

1)
Überprüfen Sie, ob die folgenden Relationen R auf der Menge M die in Definition 3.7 erklärten Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv und total) besitzen:
a) M={1,2,3,4,5,6,7,8} N

Ich habe verstanden, wieso genau gerade diese Eigenschaften gelten sollen, an so Beispielen wie "ist Anna in einer Klasse mit Bert und Bert in einer mit Charly, dann sind An∩a und Charly auch in einer Klasse" usw. die ich im Internet zu hauf gefunden habe. Ich verstehe nur nicht, wie man das auf Mengen oder besser so eine Aufgabe übertragen kann und wie ich überhaupt vorgehen soll.

2)
Bestimmen Sie alle Äquivalenzrelationen auf der Menge M für
a) M={a,b,c}

Diese Aufgabe habe ich glaube ich halbwegs verstanden. Man muss zuerst die Menge M in alle möglichen Äquivalenzklassen aufteilen. Das macht man meines Verständnisses nach so, dass man versucht die drei Elemente aus M so auf Teilmengen aufzuteilen s.d. jedes Element genau einmal in einer Menge vergeben ist. Das würde die Äquivalenzklassen :

1. {1,2,3}
2. {1}{2,3}
3. {2}{1,3}
4. {3}{1,2}
5. {1}{2}{3}

liefern. Wie man eine Äquivalenzklasse jetzt formal aufschreibt weiß ich leider auch nicht genau. Auf jeden Fall guckt man jetzt, wie die geordneten Paare der einzelnen Mengen jeweils aussehen würden und schreibt diese als Menge auf, was die Äquivalenzrelation der jeweiligen Äquivalenzklasse liefert :

1. R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
2. R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}
3. R={(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2)}
4. R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)}
5. R={(1,1),(2,2),(3,3)}

Wäre die Aufgabe damit erledigt oder müsste man die 5 Relationen irgendwie zu einer zusammenfassen bzw. ist es so überhaupt ansatzweise richtig ?

Ich bin für jede Hilfe wirklich SEHR dankbar ! Big Laugh

LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Äquivalenzklassen und Äquivalenzrelationen hast du perfekt berechnet. Ich würde diese Relationen bis nennen, denn sie sind ja verschieden. Zwischen zwei Mengen schreibt man ein Komma.
Wenn du das so gut verstanden hast, bleibt dir genug Zeit für die 1. Aufgabe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp zu 1. reflexiv: ist eine ganze Zahl, und es ist , also für alle

Die Definition der Relation darf ich korrigieren, sonst wird das nichts:
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