Logarithmus im Kopf berechnen

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01.12.2019, 20:32	Hnto21	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmus im Kopf berechnen Meine Frage: Hallo. Kann man irgendwie $\begin{eqnarray} log_{2}(6) \end{eqnarray}$ im kopf berechnen bzw. ohne Taschenrechner oder CAS ? Meine Ideen: Ich denke mal nein.
01.12.2019, 21:08	Scotty1701D	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt darauf an, was du mit "im Kopf berechnen" meinst Da 6 keine 2er-Potenz ist, ist der Logarithmus irrational. Aber man kann Abschätzungen nach unten oder oben machen (direkt oder durch Potenzieren der 6)
01.12.2019, 21:10	hnto21	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie soll das gehen ?
01.12.2019, 21:24	Scotty1701D	Auf diesen Beitrag antworten »
Z. B.: $\begin{eqnarray} 2=\log_{2}(4)<\log_{2}(6)<\log_{2}(8)=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5=\log_{2}(32)<\log_{2}(6^2)<\log_{2}(64)=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 7=\log_{2}(128)<\log_{2}(6^3)<\log_{2}(256)=8 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} 2<\log_{2}(6)<3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2{,}5<\log_{2}(6)<3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2{,}\overline{3}<\log_{2}(6)<2{,}\overline{6} \end{eqnarray}$ Damit weiß man schon mal, dass $\begin{eqnarray} 2{,}5<\log_{2}(6)<2{,}\overline{6} \end{eqnarray}$ ist. (Und das ist für "im Kopf" ja schon recht genau)
01.12.2019, 21:31	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: log zumindest könnte man die erste Stellen vor dem Komma angeben. Man muß nur folgendes im Kopf haben: $\begin{eqnarray} \begin{array}{r r\|r r} <br /> 2^{0}= & 1 & log_2(1)= & 0\\ <br /> 2^{1}= & 2 & log_2(2)= & 1\\ <br /> 2^{2}= & 4 & log_2(4)= & 2\\ <br /> 2^{3}= & 8 & log_2(8)= & 3\\ <br /> 2^{4}= & 16 & log_2(16)= & 4\\ <br /> 2^{5}= & 32 & log_2(32)= & 5\\ <br /> 2^{6}= & 64 & log_2(64)= & 6\\ <br /> 2^{7}= & 128 & log_2(128)= & 7\\ <br /> 2^{8}= & 256 & log_2(256)= & 8\\ <br /> 2^{9}= & 512 & log_2(512)= & 9\\ <br /> 2^{10}= & 1024 & log_2(1024)= & 10\\ <br /> 2^{11}= & 2048 & log_2(2048)= & 11\\ <br /> 2^{12}= & 4096 & log_2(4096)= & 12\\ <br /> 2^{13}= & 8192 & log_2(8192)= & 13\\ <br /> 2^{14}= & 16384 & log_2(16384)= & 14\\ <br /> 2^{15}= & 32768 & log_2(32768)= & 15\\ <br /> 2^{16}= & 65536 & log_2(65536)= & 16\\ <br /> \end{array} \end{eqnarray}$ Leute die viel mit Bits und Bytes kalkulieren müssen, kennen die Tabelle zum größten Teil.
01.12.2019, 21:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte auch zunächst $\begin{align} \log_2(6) = \log_2(2 \cdot 3) = \log_2(2) + \log_2(3) = 1 + \log_2(3) \end{align}$ rechnen. Wenn man jetzt weiß, daß $\begin{align} \sqrt{2} \approx 1{,}4 \end{align}$ ist, findet man $\begin{align} 2^{1{,}5} = 2^1 \cdot 2^{0{,}5} = 2 \sqrt{2} \approx 2{,}8 \approx 3 \end{align}$ Es folgt $\begin{align} \log_2(3) \approx 1{,}5 \end{align}$ , also $\begin{align} \log_2(6) \approx 2{,}5 \end{align}$ Ist natürlich nur eine grobe Rechnung. Ich hab's mal in den Taschenrechner eingegeben: $\begin{align} \log_2(6) = 2{,}5849 \ldots \end{align}$ Na, da waren meine 2,5 doch ganz ordentlich.
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01.12.2019, 22:25	Hnto21	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: log Ulrich wenn ich die Tabelle im kopf habe wie berechne ich den log ? Verstehe die Idee nicht
01.12.2019, 22:45	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: log Derjenige, der behauptet, er berechne den Logarithmus zur Basis zwei im Kopf meint sicherlich nur die erste Stelle, die man aus meiner Tabelle entnimmt, die ich als Latex-Code in Matlab generiert habe, damit ich nicht so viel tippen muß. Was den Logarithmus von $\begin{eqnarray} 6 \end{eqnarray}$ zur Basis $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ betrifft, muß man doch nur die Zahlen $\begin{eqnarray} 2^2=4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2^3=8 \end{eqnarray}$ im Kopf haben. Schon kann man angeben "Zwo Komma irgend etwas". Das habe ich gemeint.
01.12.2019, 23:00	Hnto21	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: log Ah okay verstehe was du meinst. Gibt es keine Möglichkeit die „einfach“ die ersten 2 nachkommastellen zu bestimmen?
01.12.2019, 23:19	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: log Um eine eine möglichst leichte Methode zu finden, den Logarithmus zur Basis $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ zu berechnen, würde ich mir die Reihen zur Bestimmung von dem Natürlichen Logarithmus in den Formelsammlungen anschauen und mittels Taylorentwicklung auf den Logarithmus-Dualis zu adaptieren. Auch interative Methoden könnten noch infrage kommen.

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