Offene und abgeschlossene Teilmengen

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Dedede Auf diesen Beitrag antworten »
Offene und abgeschlossene Teilmengen
Meine Frage:
Hallo! Ich soll bei einer Übungsaufgabe von Analysis I zeigen, dass und die einzigen Teilmengen von sind, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind. Allerdings kommme ich da grade nicht weiter...

Meine Ideen:
Unsere Definitionen waren:
für offene Mengen: eine Menge heißt offen, falls es zu jedem ein gibt mit
für abgeschlossene Mengen: heißt abgeschlossen, falls gilt: für gilt
außerdem gilt dass eine Menge genau dann offen ist, wenn \ abgeschlossen ist

Ich habe schon gezeigt, dass die leere Menge offen ist, weil sie keine Elemente enthält und deshalb die Definition einer offenen Menge trivialerweise gilt. Daraus folgt dann ja auch, dass abgeschlossen ist, weil \ (=) abgeschlossen ist, weil offen ist.
Jetzt hänge ich aber bei dem Beweis, dass offen ist... Wenn ich das beweisen könnte, könnte ich daraus ja dann folgern, dass die leere Menge abgeschlossen ist.

Und wie zeige ich dann, dass das die einzigen sowohl abgeschlossenen als auch offenen Teilmengen von sind?

Edit(Helferlein): Latex korrigiert.
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RE: Offene und abgeschlossene Teilmengen
Die Offenheit von folgt doch direkt aus der Definition der Offenheit verwirrt

Nimm dir einen Punkt m aus einer offenen und geschlossen Menge M. Dann gibt es eine Kugel mit Radius r um m, die noch in M liegt. Was passiert, wenn man die Kugel immer weiter aufbläst?
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