Untersuche Folgen auf (absolute) Konvergenz

08.12.2019, 18:54

Folgenkonvergenzler

Untersuche Folgen auf (absolute) Konvergenz

Hallo und guten Abend,

wieder beschäftige ich mich mit Reihen und Folgen und knobel an einer Aufgabe. Vielleicht können mir die Mathe-Götter Gott

einen Tipp geben. Danke schon im Voraus.

Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\begin{pmatrix} n \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \frac{(2+3i)^n}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$ soll auf (absolute) konvergenz untersucht werden.

Ich habe das Quotientenkriterium verwendet und komme zum Ergebnis : Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n[\latex] ist nicht absolut konvergent.<br /> <br /> Aus dem Q-Kriterium ergibt sich<br /> [latex] \lim_{n \to \infinity} \frac{(n+1)(2+3i)}{(n-2)*4} \end{eqnarray*}$

Wenn die Folge nicht absolut konvergiert, so ist doch zusätzlich auf normale konvergenz zu prüfen?

08.12.2019, 19:14

HAL 9000

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Hinreichend für Nullkonvergenz der Folge ist $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1 \end{eqnarray*}$ , nun ist hier

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \limsup_{n\to\infty} \left| \frac{(n+1)(2+3i)}{(n-2)4}\right| = \left| \frac{2+3i}{4}\right| \end{eqnarray*}$ ,

na rechne das mal aus!

P.S.: Was bedeute bei dir absolute Konvergenz einer Folge? Oder redest du über absolute Konvergenz der Reihe, die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ als Reihenglied hat? Davon ist oben nirgendwo die Rede!

08.12.2019, 20:22

Folgenkonvergenzler

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Ja, du hast recht, es geht hier um absolute konvergenz der reihen.

Der limes superior ist | (1/2)+(3/4)i|=sqrt{(4/16)+(9/16)}
=sqrt{13/16}<1 also absolut konvergent und damit auch konvergent.

Mal so ins Blaue hineingefragt... gibt es ein Kochrezepte nachdem man das Kriterium für die abs. Konvergenz von Reihen berechnet oder ist das Intuition oder Erfahrung?

Wenn die reihe nun nicht absolut konvergent ist, so könnte sie trotzdem konvergent bzw auch divergent sein.

Zeigt man dies mit dem trivialkriterium (also nullfolge kriterium) oder cauchy-kriterium.

08.12.2019, 20:50

SM!LE

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Zitat:

Original von Folgenkonvergenzler

Mal so ins Blaue hineingefragt... gibt es ein Kochrezepte nachdem man das Kriterium für die abs. Konvergenz von Reihen berechnet oder ist das Intuition oder Erfahrung?

Eher weniger bis gar nicht. Oftmals ist es wirklich Erfahrung, dass man erstmal sieht welches Kriterium am besten geeignet ist bzw. welches Kriterium keinen Erfolg bringt.

Sind Fakultäten enthalten biete es sich meist an mit dem Quotientenkriterium zu starten, da sich die Fakultäten dann meist sehr schön kürzen lassen.

Sind geht es um Terme wie $\begin{eqnarray*} (...)^k \end{eqnarray*}$ dann lässt sich gut mit dem Wurzelkriterium arbeiten, da sich hierbei die Potenz kürzen lässt.

Hast du einen alternierenden Anteil wie z.B. $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ dann Leibniz-Kriterium und wenn das alles nichts hilft, dann Majoranten- oder Minorantenkriterium usw. .

Ich möchte jedoch anmerken, dass dies nur persönliche "Erfahrungen" sind und ich selbst noch studiere. Vielleicht gibts es ja hierzu auch noch Feedback von den Profis smile

(würde mich selbst interessieren.)

Zitat:

Original von Folgenkonvergenzler
Wenn die reihe nun nicht absolut konvergent ist, so könnte sie trotzdem konvergent bzw auch divergent sein.

Bei Konvergenz und absoluter Konvergenz ist das wie mit Autos und einem Porsche (ohne hier Werbung machen zu wollen, es handelt sich lediglich um ein Beispiel).
Jeder Porschewagen ist ein Auto aber nicht jedes Auto ist ein Porsche.

Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent aber nicht jede konvergente Reihe ist absolut konvergent.
Ist deine Reihe also nicht absolut konvergent könnte sie noch konvergent sein oder auch divergent, dies muss dann gesondert untersucht werden.

EDIT: Wenn du auf dann Konvergenz untersuchen willst ist die Wahl des Vorgehens wieder situationsabhängig.

08.12.2019, 21:57

Ulrich Ruhnau

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Maple spuckt dazu folgendes aus:

$\begin{eqnarray*} \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{n\choose 3} \left( 2+3\,i \right) ^{n}}{{2}^{2\,n}}}={\frac{26216}{28561}}+{\frac {17796\,i}{28561}} \end{eqnarray*}$

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