Reihenkonvergenz

09.12.2019, 18:59

Erstsemester2

Reihenkonvergenz

Moin moin,

aller Anfang ist schwer, aber manchmal fehlt einem so richtig der Durchblick. Eventuell kann mir hier jemand diesen Durchblick verschaffen.

Also ich beschäftige mich zur Zeit mit Reihen und deren (absoluter) Konvergenz bzw. Divergenz.

Wir haben bereits in der Vorlesung alle Kriterien bis auf das Integralkriterium eingeführt und bewiesen. Allerdings stellt sich mir immer die Frage "Welches Kriterium" anwenden?

Habe folgende Reihe $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^{n}=\frac{2n-4 \cdot \lfloor{\frac{n}{2}\rfloor}+2} {n} \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich hingehen und die ersten Partialsummenglieder berechnen also
$\begin{eqnarray*} a_1=-4 , a_2=1, a_3=-\frac{4}{3},a_4=-\frac{1}{2},a_5=-\frac{4}{5},... \end{eqnarray*}$

Daraus erkenne ich, dass die Partialsummenfolge zwei Teilfolgen $\begin{eqnarray*} a_{2k}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2}{k},a_{2k+1}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{-4}{k},\forall k \in \mathbb {N} \end{eqnarray*}$

Jetzt sehen die Teilfolgen doch der harmonischen Reihe $\begin{eqnarray*} a_k=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt meine vielleicht nicht so geistreiche Frage... Kann man hier das Leibniz-Kriterium anwenden, denn offensichtlich sind beide Teilfolgen monotone Nullfolgen. Gerne bin ich euch auch dankbar für andere Ideen, die sogar schneller zum Ziel führen.

Besten Dank an die Fachleute für eure Hilfe

09.12.2019, 19:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Erstsemester2
Habe folgende Reihe $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^{n}=\frac{2n-4 \cdot \lfloor{\frac{n}{2}\rfloor}+2} {n} \end{eqnarray*}$

Ist das deine seltsam verschrobene Art auszudrücken, dass eigentlich folgendes gemeint ist:

Zitat:

Habe folgende Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^{n}\cdot \frac{2n-4 \cdot \lfloor{\frac{n}{2}\rfloor}+2} {n} \end{eqnarray*}$

Zum Inhalt:

Zitat:

Original von Erstsemester2
Kann man hier das Leibniz-Kriterium anwenden

Da die Reihe divergent ist, kann das wohl kaum einen Sinn machen. Zeige lieber, dass die Partialsummen unbeschränkt fallen, d.h., letztlich gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bestimmt divergieren.

09.12.2019, 19:48

Erstsemester2

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ja genau, dass ist meine seltsam verschrobene Art Freude

Denn leider kann man als gast ja nichts editieren. unglücklich

Aber du hast Recht. Ich schreibe ja auch, dass sie der harmonischen Reihe sehr ähnlich ist, die divergiert.

Allerdings habe ich bisher noch nicht verstanden, wie man geeignet zeigt, dass die Partialsummen unbeschränkt fallen.

Definiert man sich dafür eine monoton fallende Reihe $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n, \forall n\geq n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ oder zeigt man dies mit Induktion?

Ich bin mir da irgendwie ziemlich unsicher, noch!

09.12.2019, 19:52

HAL 9000

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Für die Partialsummenfolge $\begin{eqnarray*} s_k = \sum_{n=1}^k a_n \end{eqnarray*}$ kann man z.B. für gerade Indizes folgendermaßen abschätzen:

$\begin{eqnarray*} s_{2k} = \sum_{j=1}^k a_{2j-1} + \sum_{j=1}^k a_{2j} = -\sum_{j=1}^k \frac{4}{2j-1} + \sum_{j=1}^k \frac{2}{2j} < -\sum_{j=1}^k \frac{4}{2j} + \sum_{j=1}^k \frac{2}{2j} = -\sum_{j=1}^k \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$ .

Dieser letzte Ausdruck divergiert bereits gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ (Stichwort: Harmonische Reihe), also bleibt dem kleineren $\begin{eqnarray*} s_{2k} \end{eqnarray*}$ auch nichts anderes übrig.

09.12.2019, 20:44

Erstsemester2

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Sieht jetzt wie das Majorantenkriterium aus. Zumindest definierst du eine obere Folge und orientierst dich an ihrem "Konvergenzverhalten".

Eine Intuition über die Partialsummenglieder habe ich naiv auch erhalten und versucht dies zu kategorisieren nach geraden und ungeraden Gliedern, aber diese Abschätzung so aufzustellen...

Wie man sieht ist das kein Hexenwerk, aber man muss einige Male das Konvergenzverhalten mit den K-Kriterien untersucht haben, um es zu verinnerlichen. Da du dies - Gott

ganz herzlichen Dank dafür, für die geraden 2k-Glieder der Partialsummenfolge gezeigt hast, ist selbiges nun nicht mehr für die ungeraden Glieder der Partialsummenfolge zu zeigen oder doch?

Schon ganz herzliches Dankeschön. Gott

09.12.2019, 20:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Erstsemester2
Da du dies [...] für die geraden 2k-Glieder der Partialsummenfolge gezeigt hast, ist selbiges nun nicht mehr für die ungeraden Glieder der Partialsummenfolge zu zeigen oder doch?

Kommt drauf an, was du zeigen willst:

1) Geht es nur um die Divergenz, dann reicht eine divergente Teilfolge wie die da oben.

2) Willst du dagegen wirklich die bestimmte Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ zeigen, dann musst du auch noch die Partialsummen $\begin{eqnarray*} s_{2k+1} \end{eqnarray*}$ diesbezüglich betrachten bzw. dann abschätzen. Was nicht so schwierig ist angesichts von $\begin{eqnarray*} s_{2k+1} = s_{2k} + a_{2k+1} < s_{2k} \end{eqnarray*}$ , was ja aus $\begin{eqnarray*} a_{2k+1}<0 \end{eqnarray*}$ folgt.

09.12.2019, 21:05

Erstsemester2

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Wenn der Fragestellung nachgegangen werden soll, ob die Reihe (absolut) konvergiert, ist auch für die ungeraden Folgeglieder abzuschätzen. Danke dir. Schönen Abend. Das habe ich dann jetzt verstanden.

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