Stetigkeit Definition - Verständnis

15.12.2019, 16:20

tweek

Stetigkeit Definition - Verständnis

Hi!

Kurzes Verständnisproblem.

Die Stetigkeit wurde bei uns wie folgt definiert:

Sei I ein Intervall und f: I -> R und b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ I
dann heißt f stetig in b, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} f(x) = f(b) \end{eqnarray*}$

Falls f stetig in jedem b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ I, dann heißt f stetig auf I.

Also Beispiel hatten wir:
f(x) =
0,2x für x<= 10 000
0,3x - 500 für x > 10 000

Bei 10 000 ergibt sich so von oben genähert 2500 und von unten 2000.
Dementsprechend nicht stetig. Verstehe ich, kein Problem.

Aber was zur Hölle soll jetzt das f(b) aus der Definition sein?

15.12.2019, 16:37

SM!LE

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$\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ ist der Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

Bedeutet also, wenn du dir einen x-Wert $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vorgibst und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to b}{f(x)} \end{eqnarray*}$ laufen lässt und die beiden Funktionswerte $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to b}f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ identisch sind, dann ist die Funktion stetig.
(Wäre bei einer Unstetigkeitsstelle - z.B. einem Sprung - nicht der Fall, hier wäre $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to b}f(x)\neq f(b) \end{eqnarray*}$ )

Gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to b}f(x)=f(b) \end{eqnarray*}$ , dann ist die Funktion in diesem Punkt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ stetig. Gilt es für alle $\begin{eqnarray*} b\in I \end{eqnarray*}$ dann ist die Funktion auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ stetig wie du bereits erwähnt hast.

16.12.2019, 09:50

tweek

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Zitat:

Original von SM!LEBedeutet also, wenn du dir einen x-Wert $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vorgibst und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to b}{f(x)} \end{eqnarray*}$ laufen lässt und die beiden Funktionswerte $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to b}f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ identisch sind, dann ist die Funktion stetig.

Wenn ich für f(b) die untere Formel einsetze und für f(x) ebenfalls, ergeben beide das Gleiche obwohl unstetig.

Für mich ergibt das nur Sinn, wenn man die Definition so formuliert: Alle Annäherungen an einen Punkt müssen zum selben Ergebnis führen.

Ist evtl. eh das gemeint?

16.12.2019, 10:17

SM!LE

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Zitat:

Original von tweek
Alle Annäherungen an einen Punkt müssen zum selben Ergebnis führen.

Ist evtl. eh das gemeint?

Genau das ist gemeint, du kannst dir das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ja größer und kleiner als dein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wählen.
Nur wenn du in beiden Fällen zu dem Ergebnis $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to b}f(x)=f(b) \end{eqnarray*}$ kommst liegt Stetigkeit in diesem Punkt vor.

Man bezeichnet das auch als rechts- und linksseitigen Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x~\downarrow~b}f(x)=\lim_{x~\uparrow~b}f(x)\Rightarrow f(x) \text{ ist stetig in Punkt }b \end{eqnarray*}$

16.12.2019, 10:29

tweek

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Zitat:

Original von SM!LE

Zitat:

Original von tweek
Alle Annäherungen an einen Punkt müssen zum selben Ergebnis führen.

Ist evtl. eh das gemeint?

Genau das ist gemeint

Dankeschön! Hab hin und wieder noch Probleme den Mathe-Sprech korrekt zu interpretieren. Augenzwinkern

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