Umkehrfunktionen, Bijektivität |
| 19.12.2019, 07:58 | dunkain | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Umkehrfunktionen, Bijektivität Moin liebe matheboard community, ich soll eine Aufgabe bearbeiten an der ich schon eine Weile grübel, vllt. könnt ihr mir ja helfen. Wir betrachten f : R^2 -> R^2 mit f(x,y) := (x-y,x+y). Beweisen Sie, dass f bijektiv ist und bestimmen Sie f-1. R = Menge der reellen Zahlen. Meine Ideen: f : R^2 -> R^2, schreibweise für: f (Mengeninklusion) R^2 × R^2 Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie injektiv sowie surjektiv ist. Def. injektiv: für alle x,y (Enthaltenseinssymbol) M aus f(x)= f(y) folgt x = y Def. surjektiv: es existiert für alle y (Enthaltenseinssymbol) N ein x (Enthaltenseinssymbol) M mit f(x)= y Beweis injektiv: Ist f(x) = f(y)? heißt das ich müsste x^2 = (-y)^2 vergleichen? Beweis surjektiv: ich hab da leider keinen Ansatz, ebenso wie bei der Bildung von der Umkehrfunktion. Mich verwirrt das f(x,y) := (x-y,x+y). Ich deute es so, das wir x (Enthaltenseinssymbol) R^2 und y (Enthaltenseinssymbol) R^2. für x gilt die Funktion f(x) = x-y u. für y gilt die Funktion f(y) = x+y. Nun bin ich mir nicht sicher, wie ich damit arbeiten soll. |
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| 19.12.2019, 09:05 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Man betrachtet mit und weist dann einfach durch Einsetzen die beiden Eigenschaften und nach, damit ist und die Extra-Betrachtungen all der anderen Dinge (injektiv, surjektiv,...) erübrigt sich damit, weil sie quasi nebenbei mit erledigt wurden. |
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