Determinante berechnen

10.01.2020, 13:30

dohx

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Determinante berechnen

Ich soll für die gegebene Matrix beweisen das die Determinante 0 ist.

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rrr}<br /> cos(b) & cos(a) & -1 \\ <br /> cos(g) & -1 & cos(a) \\<br /> -1 & cos(g) & cos(b) \\ <br /> \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Ich habe damit angefangen die Regel von Sarrus anzuwenden und folgendes dabei raus bekommen:

-cos(a)^2 - cos(b)^2 - cos(g)^2 + 1 - (cos(a) * cos(b) * cos(g))^2

weiter habe ich versucht cos mit dem Cosinussatz auszutauschen. Leider habe ich dabei nur mäßigen Erfolg verspüren können. Ich habe mir mal die Mühe gemacht und es in den Taschenrechner eingegeben es kommt 0 raus wie angegeben. Aber die Schritte die ich dafür aufschreiben müsste, würden ganze drei Seiten füllen. Es muss doch auch einen besseren und kürzeren weg geben? Ich hoffe IHR könnt mir helfen smile

smile

Meine Umformung durch den Cosinussatz:
cos(a) = (c^2 + b^2 - a^2) / ( 2cb )
cos(b) = (a^2 + c^2 - b^2) / ( 2ac )
cos(g) = (a^2 + b^2 - c^2) / ( 2ab )

10.01.2020, 13:45

mYthos

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a, b, c sind Winkel, KEINE Seiten. Daher ist der Cos-Satz hier nicht angebracht.
Versuche, die Determinante nach den Elementen einer Zeile oder Spalte aufzulösen (Laplace-Entwicklungssatz).

Gibt es noch eine Angabe für eine Beziehung zwischen den Winkeln a, b und g?

mY+

10.01.2020, 13:48

URL

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Für a=b=g=pi/2 ist die Determinante aber doch nicht Null verwirrt

verwirrt

10.01.2020, 13:52

mYthos

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Sarrus ist meistens umständlich. Mittels des Auflösungssatzes kommt

Edit: Oha, doch verrechnet!

$\begin{eqnarray*} D = 1 - (\cos^2 a + \cos^2 b + \cos^2g + 2 \cos a \cos b \cos g) \end{eqnarray*}$

wenn ich mich nicht verrechnet habe .. Big Laugh

Big Laugh

~~D = 0, wenn die Summe der Quadrate gleich 1 ist.~~

mY+

10.01.2020, 14:17

HAL 9000

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Symbol $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bringt mich auf einen Gedanken:

Statt $\begin{eqnarray*} a,b,g \end{eqnarray*}$ ist hier vermutlich $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray*}$ gemeint, und das sollen die Dreiecksinnenwinkel sein! Damit stimmt dann auch die Behauptung.

10.01.2020, 14:31

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
Gibt es noch eine Angabe für eine Beziehung zwischen den Winkeln a, b und g?
...

Also doch! g wie gamma!

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10.01.2020, 14:33

dohx

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Ja tut mir leid es handelt sich um alpha, beta und gamma.

10.01.2020, 14:36

mYthos

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Nun, kannst du damit etwas anfangen?
Hast du D zunächst allgemein so herausbekommen?

mY+

10.01.2020, 14:43

dohx

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Also ich hab D im 1. Post angegeben sieht glaub ich so ähnlich aus wie bei dir oder? Aber wie sollte mich das jetzt weiter bringen?

10.01.2020, 14:45

HAL 9000

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Kleine Nebenrechnung mit dem Kosinus-Additionstheorem: Es ist

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha) + \cos(\beta)\cos(\gamma) = \cos(\pi-(\beta+\gamma)) + \cos(\beta)\cos(\gamma) = -\cos(\beta+\gamma) + \cos(\beta)\cos(\gamma) = \sin(\beta)\sin(\gamma) \end{eqnarray*}$

und analog

$\begin{eqnarray*} \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cos(\gamma) = \sin(\alpha)\sin(\gamma) \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt für die von mYthos oben aufgestellte Determinante

$\begin{eqnarray*} D &=& 1 - \left( \cos(\alpha)(\cos(\alpha)+\cos(\beta)\cos(\gamma)) + \cos(\beta)(\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cos(\gamma)) + \cos^2(\gamma)\right)\\ &=& \sin^2(\gamma) - \left( \cos(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma) + \cos(\beta)\sin(\alpha)\sin(\gamma)\right) = \sin(\gamma) \left( \sin(\gamma) - \cos(\alpha)\sin(\beta) - \cos(\beta)\sin(\alpha) \right)\\ &=& \sin(\gamma) \left( \sin(\gamma) - \sin(\alpha+\beta) \right) = 0 \end{eqnarray*}$

letzteres wegen $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha+\beta) = \sin(\pi-\gamma) = \sin(\gamma) \end{eqnarray*}$ .

Die Kosinussatzidee im Eröffnungsposting ist so schlecht nicht, aber das Termgewusel ist vermutlich doch noch eine Ecke größer als hier.

Zitat:

Original von dohx
Also ich hab D im 1. Post angegeben sieht glaub ich so ähnlich aus wie bei dir oder?

"So ähnlich" ist leider nicht gut genug: Du hast (cos(a) * cos(b) * cos(g))^2 geschrieben wo hätte stehen müssen 2* cos(a) * cos(b) * cos(g). Das ist schon ein fataler Fehler, wenn man mit dem falschen Term weiter rechnet.

10.01.2020, 14:55

mYthos

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Wie gerade erwähnt, ist deine D noch zu berichtigen!

Dann ist g entsprechend zu ersetzen: $\begin{eqnarray*} g = \pi - (a+b) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \cos g = - \cos(a+b) \end{eqnarray*}$

Das weitere verläuft dann so, wie oben schon ersichtlich ...
-----

Mittels des Additionstheorems habe ich (hinter 1 - ) schließlich bekommen:

$\begin{eqnarray*} \cos^2 a + \cos^2 b + \sin^2 a\sin^2b - \cos^2 a\cos^2b \end{eqnarray*}$

Dies ist schließlich (Faktorisieren und $\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{eqnarray*}$ ) letztendlich gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$
Mit der $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ vorne ist das Ganze gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

mY+

10.01.2020, 20:36

dohx

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Ich muss noch mal nach fragen, Auflösungssatz was ist damit gemeint? Ich kenne nur Sarrus und Laplacescher Entwicklungssatz.

10.01.2020, 21:05

dohx

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Edit (mY+): Vollzitat entfernt. Totale Zitate machen den Thread unübersichtlich!

Versuche noch deine Schritte nachzuvollziehen, komm aber nicht hinterher :/...

10.01.2020, 22:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von dohx
Versuche noch deine Schritte nachzuvollziehen, komm aber nicht hinterher

Dann tut es mir leid, tiefer ins Detail werde ich jedenfalls nicht gehen. Ich habe es oben schon sehr, sehr ausführlich dargelegt, inklusive der Nebenrechnung, die dann in die Hauptrechnung eingeht. Und zur Not bleibt dir ja immer noch dein angedachter Weg über den Kosinussatz, so lang und breit die Terme da auch sein mögen.

11.01.2020, 02:07

mYthos

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Der Weg über den Cos-Satz ist - so wie vom TE dargelegt - vollkommen daneben.
Wie soll das gehen, wenn a, b, g einerseits als Winkel und andererseits dieselben Variablen als Seiten bezeichnet werden?

mY+

11.01.2020, 12:51

HAL 9000

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Er ist nicht daneben, wenn man die Winkel links richtig bezeichnet: D.h., man ersetzt die Kosinusterme in der Determinante via Kosinussatz

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha) &=& \frac{c^2 + b^2 - a^2}{2cb}\\ \cos(\beta) &=& \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\\ \cos(\gamma) &=& \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{eqnarray*}$

Dies eingesetzt löst sich die Determinante tatsächlich in Wohlgefallen (sprich: Null) auf.

11.01.2020, 13:37

mYthos

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Eben. Dagegen ist ja auch nichts zu sagen.
Aber für die Winkel und die Seiten dieselben Variablen zu verwenden: Dies halte ich nach wie vor für einen fatalen Fehler, auch wenn sich der bei der Rechnung nicht mehr weiter bemerkbar macht.

mY+

11.01.2020, 15:17

Leopold

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Man kann auch zeigen:

$\begin{align*} \sin(\alpha) \cdot \begin{pmatrix} \cos(\beta) \\ \cos(\gamma) \\ -1 \end{pmatrix} + \sin(\beta) \cdot \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \\ -1 \\ \cos(\gamma) \end{pmatrix} + \sin(\gamma) \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ \cos(\alpha) \\ \cos(\beta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$

In der ersten Zeile zum Beispiel gilt:

$\begin{align*} \color{red} \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \sin(\beta) \cdot \cos(\alpha) \color{black} - \sin(\gamma) = \color{red} \sin(\alpha + \beta) \color{black} - \sin(\gamma) = \color{red} \sin(\pi - (\alpha + \beta)) \color{black} - \sin \left( \gamma \right) = \color{red} \sin(\gamma) \color{black} - \sin(\gamma) = 0 \end{align*}$

Wegen des zyklischen Aufbaus des Rechenausdrucks gilt in den beiden anderen Zeilen Entsprechendes. Die Spalten der Matrix sind also linear abhängig.

Viele Wege führen nach Rom ...

11.01.2020, 16:57

dohx

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Zitat:

Original von HAL 9000
letzteres wegen $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha+\beta) = \sin(\pi-\gamma) = \sin(\gamma) \end{eqnarray*}$ .

Ist es möglich das hier noch mal genauer auszuführen? Hab es sonst glaub ich soweit verstanden. Danke dir/euch.

11.01.2020, 17:16

Leopold

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Dieselbe Umformung habe ich auch bei meinem Ansatz verwendet. Dabei habe ich noch einen Schritt mehr ausgeführt. Vielleicht verstehst du es dann.

11.01.2020, 20:18

mYthos

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Zitat:

Original von dohx
...
Ist es möglich das hier noch mal genauer auszuführen? Hab es sonst glaub ich soweit verstanden. Danke dir/euch.

Du musst bitte genauer sagen, was du daran nicht verstehst.
Die Beziehung $\begin{eqnarray*} \sin(\pi - x) = \sin x \end{eqnarray*}$ ist ein Grundgesetz, sie ergibt sich aus der Definition dieser Winkelfunktion.
Ersichtlich ist dies entweder aus dem Einheitskreis oder auch aus dem Graphen:

[attach]50371[/attach]

mY+

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