Differentialgleichung 2. Ordnung

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Weiße Elster Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung 2. Ordnung
Meine Frage:
Gegeben ist folgende Differentialgleichung 2.Ordnung:
für alle wobei stetig differenzierbar und stetig sind.

Bestimme nun so, dass genau dann die erste Differentialgleichung löst, wenn , eine Lösung von für alle ist.

Meine Ideen:
Also, ich habe keine Ahnung, wie man diese Aufgabe löst, aber was ich bisher weiß, ist folgendes:
ist gegeben durch , das folgt aus der Angabe. Meine erste Idee war nun, das gegebene zweimal nach x abzuleiten, so dass ich die Differentialgleichung von da habe. Ich bin allerdings an der Ableitung des exponentialterms gescheitert, vielleicht könnte mir da jemand helfen. Wenn ich dann die Differentialgleichung mit den unbekannten hätte, würde mir das dann vielleicht etwas bringen.

Ich habe testweise den Exponentialterm mit bezeichnet. Dann wäre was dann für die gesamte Differentialgleichung folgende Form hätte:
durch y geteilt:
. Weiß aber nicht, ob das was bringt, wie gesagt, wenn ich mehr wüsste, würde ich nicht fragen, aber das waren meine bisherigen Überlegungen.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 2. Ordnung
Zitat:
Original von Weiße Elster
Gegeben: für alle wobei stetig differenzierbar und stetig sind.

Bestimme nun so, dass genau dann die erste Differentialgleichung löst, wenn , eine Lösung von für alle ist.
Ich bin allerdings an der Ableitung des exponentialterms gescheitert, vielleicht könnte mir da jemand helfen.


Um die Schreibarbeit einzuschränken, führe ich mal die folgenden Abkürzungen ein.



dann ist





Ab hier muß man diese Ausdrücke nur noch in einsetzen, damit die erste Dlg herauskommen kann. Danach müssen und bestimmt werden.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben ist die allgemeinste lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung:



In deiner Aufgabe will man zwecks Vereinfachung das lineare Glied beseitigen. Das gelingt, indem man anstelle der unbekannten Funktion u(x) eine neue unbekannte Funktion v(x) mittels folgendem Ansatz einführt

_____________________(=Ansatz)

Dabei ist a(x) eine noch unbekannte Funktion. Die Frage ist: Für welche noch unbekannte Funktiuon a(x) verschwindet das lineare Glied, so dass man folgende lineare Differenzialgleichung für v(x) ohne das lineare Glied erhält

_____________________(Gleichung *)

Um diese Frage zu beantworten, bildet man die 1. und 2.Ableitung des obigen Ansatzes




Einsetzen von in die ursprüngliche Differenzialgleichung ergibt:



Umordnen und anschließende Division durch a(x) ergibt folgende Differenzialgleichung für v(x)

_________________(**)

Offenbar verschwindet das lineare Glied, wenn die unbekannte Funktioin a(x) so gewählt wird, dass der Koeffizient vor verschwindet, also



Diese Forderung ist eine Differenzialkgleichung für a(x). Indem man die letzte Gleichung durch 2 dividiert und danach summandenweise integriert, ergibt sich

, wobei

Dabei haben wir zwecks Abkürzung die Stammfunktion von mit bezeichnet. Umstellen nach a(x) liefert



Setzt man dies in den obigen Ansatz ein, ergibt sich die Lösung der ursprünglichen Differenzialgleichung

mit der Abkürzung

Dabei ist v(x) die Lösung der Differenzialgleichung (*) ohne lineares Gleid. Das war zu beweisen. Die Funktionen q(x) und f(x) in (*) kann man in (**) ablesen.
Weiße Elster Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank an euch beide.

Ehos, bist du sicher, dass deine q(x) und f(x) stimmen? Denn ich bekomme für die beiden
und heraus. das f(x) ist dann das selbe wie bei dir, da du bei deiner Rechnung ja noch das - im Exponentialterm hast, aber die q(x) sind dann bei uns unterschiedlich, denn ich bin über die Definition gegangen, wodurch ich erhalte, woraus dann mein q(x) folgt.
Weiße Elster Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Korrektur noch, für q(x) erhalte ich das ergebnis meiner leitzen nachricht ohne das exp(...), da ich übersehen habe, dass dies bei der Gleichung zu noch ein Faktor von q ist.
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