Pseudoinverse von abstrakten Vektorprodukten

21.01.2020, 21:42	keksmonster	Auf diesen Beitrag antworten »
Pseudoinverse von abstrakten Vektorprodukten Hallo Forumsmitglieder, Ich schreibe bald eine LA Klausur, und es gibt ein Thema der Vorlesung welches ich leider so gut wie gar nicht verstehe. Die folgende Aufgabe kam in drei Altklausuren des Professors dran, und ich würde mich freuen wenn mir jemand erklären könnte wie (und wieso) man die Aufgabe lösen kann: Seien $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ Vektoren aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v^tv = w^tw = 1 \end{eqnarray}$ . Bestimmen sie die Pseudoinverse $\begin{eqnarray} A_k^+ \end{eqnarray}$ der folgenden Matrizen: $\begin{eqnarray} A_1 = v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_2 = v^t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_3 = v^tw \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_4 = vw^t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_5 = I - 2vv^t \end{eqnarray}$ Ich habe keine Probleme eine Pseudoinverse über die Singulärwertzerlegung zu bestimmen, aber mit solchen abstrakten Aufgaben bin ich überfordert. Ich würde mich sehr über erklärende Antworten freuen! Bin hier ein wenig am verzweifeln!
22.01.2020, 14:48	matricks	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe zwar keine wirkliche Erfahrung bei diesem Thema, aber wenn du dir mal den Wikipedia-Artikel zu Pseudoinversen anschaust, dann findet man unter "2.3 Berechnungen" ja schon ganz gute Hinweise. Zumindest $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ als (nx1)-Matrix mit Zeilenrang 1 (wegen $\begin{eqnarray} v^t \cdot v=1 \end{eqnarray}$ muss mindestens eine Koordinate ungleich Null sein), $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ als (1xn)-Matrix (und damit $\begin{eqnarray} A_2^t \end{eqnarray}$ als (nx1)_Matrix ) mit Zeilenrang 1 und $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ als (1x1)-Matrix (Skalar) sind ja immerhin Spezialfälle, wo die Inverse mit der Berechnungsformel im Wiki-Artikel recht schnell bestimmt ist.
23.01.2020, 00:56	matricks	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich führe mal die Pseudoinverse zu $\begin{eqnarray} A_1=v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ . \\ . \\ .\\ v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ vor: $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ hat vollen Spaltenrang, da $\begin{eqnarray} k=rang(A_1)=1=n=1 \end{eqnarray}$ , da wegen $\begin{eqnarray} v^Tv = w^Tw = 1 \end{eqnarray}$ v nicht der Nullvektor sein kann und sich damit bis auf einen Zeileneintrag alle Koordinaten "ausnullen" lassen. Somit gilt $\begin{eqnarray} A_1^+=(v^Tv)^{-1} \cdot v^T=1^{-1} \cdot v^T=v^T=\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & . & . & . & v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ähnlich geht es mit $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ , nur dass man hier vollen Zeilenrang hat.

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