Grenzwert zur Herleitung der e-Funktion

23.01.2020, 20:39

Hildegard 00

Grenzwert zur Herleitung der e-Funktion

Meine Frage:
Ich möchte gern \lim_{h\to 0} (e^{h}-1)/h=1 aus \lim_{n \to \infty } (1+1/n)^n=e herleiten. Wie geht das möglichst ohne Reihe.
Vielen Dank!!!

Meine Ideen:
Keine Ideen bisher.

23.01.2020, 22:02

Leopold

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Vielleicht ist dir im Zusammenhang mit der Eulerschen Zahl die Ungleichung

$\begin{align*} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \leq \operatorname{e} \leq \left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^n \, , \ \ n \geq 2 \end{align*}$

begegnet. Den linken Teil kannst du äquivalent umformen:

$\begin{align*} 1 + \frac{1}{n} \leq \operatorname{e}^{\frac{1}{n}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{n} \leq \operatorname{e}^{\frac{1}{n}} - 1 \end{align*}$

$\begin{align*} 1 \leq \frac{\operatorname{e}^{\frac{1}{n}} -1}{\frac{1}{n}} \end{align*}$

Und ganz ähnlich geht es mit der rechten Ungleichung. Zusammengefaßt erhält man

$\begin{align*} 1 \leq \frac{\operatorname{e}^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}} \leq \frac{n}{n-1} \end{align*}$

24.01.2020, 18:43

Hildegard 00

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Danke für die Antwort.
Den rechten Teil der Ungleichung kannte ich bisher nicht. Mir ist aber gelungen zu verstehen, dass der Grenzwert für die Zahlenfolge (rechte Seite) für n gegen unendlich e ist. Aber ist die ZF auch streng monoton fallend? Falls ja , wäre der Rest einleuchtend.

LG

24.01.2020, 19:31

HAL 9000

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Ich verstehe deine Bedenken jetzt so, dass ja bisher strengenommen nur für die eine Nullfolge $\begin{eqnarray*} h_n=\frac{1}{h} \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{e^{h_n}-1}{h_n} = 1 \end{eqnarray*}$ nachgewiesen wurde, nicht aber das eigentlich geforderte $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h} = 1 \end{eqnarray*}$ ? Da ist was dran.

Das kann man aber durch eine auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\leq h \leq \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$ basierende weitere Einschachtelung wasserdicht nachweisen. Das ganze hängt dann aber auch mit der Frage zusammen, wie $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ für nicht ganzzahlige $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ überhaupt definiert wird, d.h. zunächst rationale, dann beliebig reelle ... das muss man natürlich wissen, wenn man den zu berechnenden Grenzwert betrachten will.

24.01.2020, 21:02

Hildegard 00

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Ja, so könnte es gehen. Problem ist für mich erst einmal grob gelöst. Komme später eventuell darauf zurück. Vielen Dank!!!

25.01.2020, 09:21

Leopold

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Zitat:

Original von Hildegard 00
Aber ist die ZF auch streng monoton fallend?

Oft lernt man das in der Weise kennen, daß die Intervalle $\begin{align*} \left[ a_n,b_n \right] \end{align*}$ mit $\begin{align*} a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{align*}$ und $\begin{align*} b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1} \end{align*}$ für $\begin{align*} n \geq 1 \end{align*}$ eine Intervallschachtelung bilden, deren Zentrum definitionsgemäß $\begin{align*} \operatorname{e} \end{align*}$ ist. Um zu zeigen, daß die Folge $\begin{align*} \left( b_n \right) \end{align*}$ streng monoton fällt, formt man für $\begin{align*} n \geq 2 \end{align*}$ äquivalent um:

$\begin{align*} b_{n-1} > b_n \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^n > \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( \frac{n}{n-1} \right)^n > \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+1} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \ \ \left( \frac{n}{n-1} \right)^n \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n > \frac{n+1}{n} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( \frac{n^2}{n^2-1} \right)^n > \frac{n+1}{n} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( 1 + \frac{1}{n^2-1} \right)^n > 1 + \frac{1}{n} \end{align*}$

Die letzte Ungleichung folgt aber mit einem kleinen Zwischenschritt aus der Bernoullischen Ungleichung. Ganz ähnlich beweist man ja auch, daß die Folge $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ streng monoton wächst.

29.01.2020, 19:34

Hildegard 00

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Vielen Dank Leopold,
hatte zwischenzeitlich einen ähnlichen Beweis für die Monotonie mir zusammengezimmert und konnte so dass Problem für mich lösen. Ich wollte eigentlich \lim_{h\to 0} (e^{h}-1)/h=1 aus \lim_{n \to \infty } (1+1/n)^n=e herleiten um so aus der Definition von e auf die Ableitung von der e-Funktion zu schließen und dass möglichst für 11.Klässler verständlich. Aber dies scheint dann doch zu schwierig, da ja weder Zahlenfolgen mit Monotonie und Grenzwerten richtig eingeführt werden.
Falls du trotzdem noch eine elegante Variante kennst, lass es mich bitte wissen.
Danke!!!

31.01.2020, 00:41

klauss

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Zitat:

Original von Hildegard 00
Ich wollte eigentlich \lim_{h\to 0} (e^{h}-1)/h=1 aus \lim_{n \to \infty } (1+1/n)^n=e herleiten um so aus der Definition von e auf die Ableitung von der e-Funktion zu schließen und dass möglichst für 11.Klässler verständlich.

Also wenn das der Kern des Problems ist, ließe sich das Pferd ja gleich ganz anders aufzäumen. Dann geht es nicht darum, die Ana 1-Klausur zu bestehen, sondern Schülern - und zwar allen, den Könnern und den weniger geneigten - ein Faktum anschaulich zu vermitteln.

Schritt 1

Wir haben bereits Exponentialfunktionen mit Basen > 1 und deren prinzipiellen Verlauf kennengelernt und wissen, dass diese sich alle im Punkt (0|1) schneiden. Wir suchen nun speziell diejenige Exponentialfunktion, die durch diesen Punkt auch noch mit der Steigung 1 geht. Die nennen wir der Einfachheit halber schon mal $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ gilt es zu bestimmen.
Unsere bekannten Exponentialfunktionen sind selbstverständlich stetig und differenzierbar, deswegen können wir an diese Funktion $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ an der Stelle x=0 die Tangente $\begin{eqnarray*} y=x+1 \end{eqnarray*}$ legen.
In einer Umgebung der Stelle x=0 gilt näherungsweise $\begin{eqnarray*} e^{x} \approx x+1 \end{eqnarray*}$ und wenn wir (solange $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) beide Seiten in die Potenz $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ erheben, steht da $\begin{eqnarray*} e \approx \left(x+1\right)^{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$ .

Da wir mit der Tangente an der Stelle x=0 arbeiten, können wir unterstellen, dass wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} e^{x}=\lim_{x \to 0} x+1 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} e=\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$ gilt, unabhängig, von welcher Seite wir uns der 0 nähern.
Wir beschränken uns daher auf die Annäherung aus dem Positiven und notieren nach kleiner Substitution äquivalent
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x} }=\lim_{x \to \infty } \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} =e \end{eqnarray*}$

Schritt 2

Mit dieser Vorarbeit ist es zu $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1 }{h} \end{eqnarray*}$ nur noch ein kurzer Weg, denn wir benennen $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ um und schreiben
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1 }{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{0} }{x-0} \end{eqnarray*}$
Dieser Differentialquotient liefert die Ableitung sprich Tangentensteigung unserer neuen Exponentialfunktion an der Stelle x=0 und diese ist gemäß Voraussetzung von Schritt 1 ja gerade gleich 1.

Fazit

Es mag sein, dass Mathematiker über ein solches aufreizend legeres Vorgehen empört in Wallung geraten (da wird z. B. glatt einfach so die "x-te Wurzel" gezogen, ohne die jemals sauber definiert zu haben), aber etwaige Kritik lassen wir natürlich ebenso leger abperlen, denn zu einem anderen Resultat gelangen jene auch mit saubersten Definitionen nicht. Dafür sind unsere Schüler zufrieden und werden es der Lehrkraft danken, eine Herleitung gut verstanden zu haben, während der Lehrer in der Parallelklasse Beweise nach Vorlesungsskript hält, wo die Schüler nach der dritten Zeile kollektiv abschalten.

Ausblick

Auf ähnliche Weise können wir darauf aufbauend in einer späteren Stunde den künftig als Standardgrenzwert dienenden
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{ln(1+x)}{x} =1 \end{eqnarray*}$
ohne L'Hospital herleiten.

02.02.2020, 16:40

Hildegard 00

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Tut mir leid, bei diesem Vorgehen würde sich jedes Nackenhaar bei mir sträuben. Mein Ziel war von der Herangehensweise Bernoullies bezüglich e (Zinseszinsrechnung) zur Eigenschaft (e^x)'=
e^x zu kommen.
Trotzdem vielen Dank!

02.02.2020, 17:00

klauss

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Ok, den Schülern trotzdem viel Vergnügen.

12.07.2022, 18:55

Hildegard 00

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Grenzwert zur Herleitung der Ableitung der e-Funktion
Ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1 }{h}= 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Ausgehend von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n}= e \end{eqnarray*}$

nenne ich $\begin{eqnarray*} y= \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und so ergibt sich $\begin{eqnarray*} \lim_{y\to 0} \left(1+ y\right)^{\frac{1}{y} }= e \end{eqnarray*}$ .

(Dies gilt erstmal nur für die Kehrwerte von natürlichen Zahlen. Wie kann ich das auf positive reelle Zahlen verallgemeinern???)

Nun nenne ich $\begin{eqnarray*} y= e^{h}- 1 \end{eqnarray*}$ .

Dadurch ergibt sich $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1 }{h}=\lim_{y \to 0} \frac{y}{ln(1+ y)}= \lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{1}{y} ln(1+ y)}= \lim_{y \to 0} \frac{1}{ln((1+ y)^{\frac{1}{y} }) }=1 \end{eqnarray*}$

Bitte prüft den Weg und helft mir die Lücke zu schließen. Ist irgendwo ein grober Schnitzer???

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