Differentialgleichung

24.01.2020, 03:07

Gast006

Differentialgleichung

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich stehe vor einer Aufgabe und weiss nicht so ganz wie hierbei vorgegangen wurde bzw. einige Schritte sind mir nicht ganz klar.

Die Differentialgleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} {y}^{,,} + k_1 {y}^{,} + k_0 y = f(x) \end{eqnarray*}$
Nun wurde hier wie folgt gegangen, um die DGL zu lösen:
1)Ersetzen der unabhängigen Variable x durch die Zeit t: <Warum ?>
$\begin{eqnarray*} x = \frac{t}{\tau} \end{eqnarray*}$
2)Damit wird nach der Kettenregel:
$\begin{eqnarray*} {y}^{,} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \tau {y}^{,} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} {y}^{,,} = {\tau}^{2} {y}^{,,} \end{eqnarray*}$ <Einmal die Kettenregel an dieser Stelle erklären>
3)Einsetzen in die Differentialgleichung liefert:
$\begin{eqnarray*} \tau^2 {y}^{,,} + k_1 \tau {y}^{,} + k_0 y = f(t/\tau) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich dachte mir, dass mit dy/dt, das df(x)/dt gemeint ist aber das fällt mir hier schwierig. Also, ich verstehe bei der 1 nicht, warum man für das f(x) das x = t/tau sagt.
Im nächsten Schritt, verstehe ich nicht wie für y' und y'' gerechnet wurde.

Bin noch relativ neu mit DGL's

24.01.2020, 09:36

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentialgleichung y'' + k1*y'+ k0*y = f(x)

Zitat:

Original von Gast006
Die Differentialgleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} {y}^{,,} + k_1 {y}^{,} + k_0 y = f(x) \end{eqnarray*}$
Nun wurde hier wie folgt gegangen, um die DGL zu lösen:
1)Ersetzen der unabhängigen Variable x durch die Zeit t: <Warum ?>
$\begin{eqnarray*} x = \frac{t}{\tau} \end{eqnarray*}$
Im nächsten Schritt, verstehe ich nicht wie für y' und y'' gerechnet wurde.

Bin noch relativ neu mit DGL's

Hier handelt es sich um eine lineare DGL 2. Ordnung mit linearem Dämpfungsglied $\begin{eqnarray*} k_1 y' \end{eqnarray*}$ . wenn man x durch t ersetzt, handelt es sich um eine gedämpfte Schwingung. Umgeschrieben auf t lautet die DGL:

$\begin{eqnarray*} \ddot y + k_1 \dot y + k_0 y=f(t) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \dot y = \frac {\partial y}{\partial t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ddot y=\frac {\partial^2 y}{\partial t^2} \end{eqnarray*}$

Die übliche Methode die Dgl zu lösen, ist es, eine Homogene Lösung zu finden , die $\begin{eqnarray*} \ddot y_h + k_1 \dot y_h + k_0 y=0 \end{eqnarray*}$ löst. Am einfachsten ist es $\begin{eqnarray*} y_h=e^{\alpha t} \end{eqnarray*}$ anzusetzen. Dabei ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ komplex.

$\begin{eqnarray*} \dot y=\alpha e^{\alpha y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ddot y=\alpha^2 e^{\alpha y} \end{eqnarray*}$

Einsetzen liefert:
$\begin{eqnarray*} \alpha^2+k_1\alpha+k_0=0 \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ hat zwei Lösungen $\begin{eqnarray*} \alpha_1, \alpha_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_{1,2}=-\frac{k_1}2\pm \sqrt{\left(\frac{k_1}2\right)^2-k_0} \end{eqnarray*}$

Die Partikuläre Lösung für $\begin{eqnarray*} \ddot y + k_1 \dot y + k_0 y=f(t) \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann durch den Ansatz

$\begin{eqnarray*} y(t)=c_1(t)e^{\alpha_1 t}+c_2(t)e^{\alpha_2 t} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ gegenüber $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ groß genug ist, ist der Wurzelaudruck komplex, sodaß sich eine gedämpfte Schwingung ergibt.

$\begin{eqnarray*} e^{(-\gamma+i\beta) t}=e^{-\gamma t}(\cos(\beta t)+i\sin(\beta t)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma, \beta \in \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$

24.01.2020, 09:43

Gast006

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Warum wird denn überhaupt die Kettenregel angewendet ?

24.01.2020, 09:57

Ulrich Ruhnau

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Ich habe Deine DGL so umgeschrieben, daß ich die Kettenregel nicht anwenden mußte.
Um jetzt keine Fehler zu machen, empfehle ich, die Aufgabe einzuscannen. Das mit dem x kommt mir spanisch vor.

24.01.2020, 10:23

Gast006

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Achso ok und wie kommst du auf den Ansatz bei der homogen Lösung ?

24.01.2020, 12:20

Ulrich Ruhnau

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Schwingungen sind ein Bestandteil der Physik. Da ich das Fach studiert habe, ist mir diese DGL häufig über den Weg gelaufen. Ihre Lösung ist das Grundwissen eines Physikers. Eine Möglichkeit, die Lösung herzuleiten, wäre noch die Laplace-Transformation dieser DGL. Es käme aber auf das Gleiche hinaus.

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