Lösung partielle Differentialgleichung/Randanfangswertproblem

24.01.2020, 18:20	dr.idontknow	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung partielle Differentialgleichung/Randanfangswertproblem Meine Frage: Hi ich möchte die eindimensionale Wellengleichung für ein Rand- und Anfangswertproblem lösen Diese Wellengleichung wollte ich mittels Separationsansatz lösen und habe,nach Begründung,die Separationskonstante $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ eingeführt. Die Ortsgleichung wollte ich dann mit exponentialansatz lösen und erhalte $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2}=\pm \sqrt{\alpha} \end{eqnarray}$ .Dann bekomme ich für $\begin{eqnarray} \lambda >0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda =0 \end{eqnarray}$ nur triviale Lösungen raus. Aber für $\begin{eqnarray} \alpha<0 \end{eqnarray}$ sind meine beiden $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2} \end{eqnarray}$ imaginär. Ich definiere mir dann $\begin{eqnarray} \alpha=-\beta \end{eqnarray}$ . Die allgemeine Lösung für die imaginären nullstellen ist dann $\begin{eqnarray} X(x)=c_1\cdot \cos(\sqrt{\beta}x)+c_2\cdot \sin(\sqrt{\beta}x) \end{eqnarray}$ Ich hab ja die Randbedingungen $\begin{eqnarray} y(-\pi,t)=y(\pi,t)=0 \end{eqnarray}$ Das heißt,ja $\begin{eqnarray} X(\pi)=c_1\cdot \cos(\sqrt{\beta}\pi)+c_2\cdot \sin(\sqrt{\beta}\pi)=0 \end{eqnarray}$ . Falls ich nicht die trivialen Lösungen haben möchte,ist ja eine möglichkeit 1.Fall $\begin{eqnarray} c_1=0 \end{eqnarray}$ ,dann muss ja $\begin{eqnarray} c_2 \neq 0 \end{eqnarray}$ sein,das heißt ja dann $\begin{eqnarray} \sin(\sqrt{\beta}\pi)=0 \end{eqnarray}$ , das gilt ja $\begin{eqnarray} \sqrt{\beta}\pi=n\pi \Leftrightarrow \beta = n^2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ Das heißt $\begin{eqnarray} X(x)= c_1 \sin(\sqrt{\beta}\pi). \end{eqnarray}$ 2. Fall $\begin{eqnarray} c_2=0 \end{eqnarray}$ ,dann muss ja $\begin{eqnarray} c_1 \neq 0 \end{eqnarray}$ sein,das heißt ja dann $\begin{eqnarray} X(\pi)=\cos(\sqrt{\beta}\pi)=0. \end{eqnarray}$ Dann muss ja $\begin{eqnarray} \sqrt{\beta}\pi=\frac{2n+1}{2} \pi. \end{eqnarray}$ Ist genau dann wenn $\begin{eqnarray} \beta=\left(\frac{2n+1}{2}\right)^2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} X(x)=c_2\cos(\sqrt{\beta}\pi) \end{eqnarray}$ . Die Lösung der Zeitgleichungen ist 1.Fall $\begin{eqnarray} T(t)=c_3\cos(kct)+c_4\sin(kct) \end{eqnarray}$ 2.Fall $\begin{eqnarray} T(t)=c_5\cos\left(\frac{2n+1}{2}ct \right)+c_6\sin\left(\frac{2n+1}{2}ct\right) \end{eqnarray}$ Das heißt ich erhalt für X(x)\cdot T(t) 1.Fall $\begin{eqnarray} c_1 \sin(nx)c_3\cos(kct)+c_4\sin(kct) \end{eqnarray}$ 2.Fall $\begin{eqnarray} c_2\cos(\frac{2n+1}{2}x)c_5\cos\left(\frac{2n+1}{2}ct \right)+c_6\sin\left(\frac{2n+1}{2}ct\right) \end{eqnarray}$ definiere ich die konstante um $\begin{eqnarray} a_n:=c_1\cdot c_3\ b_n:= c_1\cdot c_4\ a'_n:=c_2 \cdot c_5\ b_n':=c_2 \cdot c_6 \end{eqnarray}$ 1.Fall $\begin{eqnarray} \sin(nx)a_n \cos(kct)+b_n \sin(kct) \end{eqnarray}$ 2.Fall $\begin{eqnarray} \cos(\frac{2n+1}{2}x) a'_n\cos\left(\frac{2n+1}{2}ct \right)+b'_n\sin\left(\frac{2n+1}{2}ct\right) \end{eqnarray}$ Setzt ich die erste Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t} y(x,0)=0 \end{eqnarray}$ ein,erhalte ich jeweils 1.Fall $\begin{eqnarray} \sin(nx)a_n \cos(kct) \end{eqnarray}$ 2.Fall $\begin{eqnarray} \cos(\frac{2n+1}{2}x) a'_n\cos\left(\frac{2n+1}{2}ct \right) \end{eqnarray}$ Das heißt für $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} X_1(x)= \cos(\frac{1}{2}x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_2(x)=\sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_3(x)=\cos(\frac{3}{2}x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_4(x)=\sin(2x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_5(x)=\cos(\frac{5}{2}x) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Kann ich nun sagen,dass die allgemeine Lösung die folgende Gestalt hat? $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{k} \sin(nx)a_n \cos(kct)+\cos\left(\frac{2n+1}{2}x\right) a'_n\cos\left(\frac{2n+1}{2}ct \right) \end{eqnarray}$

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