Betragsungleichung Fallunterscheidung Definitionsbereich

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MikeV Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsungleichung Fallunterscheidung Definitionsbereich
Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem mit dem Definitionsbereich und hoffe mir kann jemand dabei helfen oder sagen woran ich mich orientieren kann, um hier richtig zu definieren.

Zu erst habe ich den Nenner im Betrag auf die andere Seite der Ungleichung multipliziert, um nicht bei der weiteren Fallunterscheidung in Konflikt mit der Drehung des Relationszeichens zu geraten. Da ich hier ein Minus vor dem Betrag habe und den Betrag aber unaufgelöst, also im noch im Betrag gelassen, rüber multipliziere bin ich davon ausgegangen, dass aufgrund des Minuszeichens davor sich das Relationszeichen dann einmal umdreht.

Ist das richtig und kann ich das überhaupt so machen?

Als weiteren Gedanken hatte ich, das Minuszeichen in den Zähler zu setzen und dann nur den Betrag auf die andere Seite zu multiplizieren, dann würde sich das Relationszeichen nicht drehen. Oder? Kann ich das Minuszeichen überhaupt einfach in den Zähler setzen?

Meine Grundsätzliche Frage bezieht darauf, woran ich mich letzendlich orientiere, um festzulegen was Größergleich/Kleinergleich bzw. Kleiner/Größer ist.



Meine Ideen:
Meine ursprüngliche Orientierung, bei der ich bisher immer auf richtige Lösungsmengen kam war, dass ich an der letzten Stelle bevor ich den X-Wert ermittele das Relationszeichen betrachte, also in meinem 1. Fall wäre das X größergleich 0, sprich die Ungleichung in der PQ-Formel-Form.

Jetzt kommt allerdings Verwirrung auf, da in der Lösung der Dozentin als letzten Wert bzw. Angabe der Ungleichung -4x^2-4x-24?0 steht, bevor sie den Definitionsbereich von [3;+?) festlegt.
Und ab diesem Punkt steht bei mir zu letzt -2x^2+2x+12?0, bevor ich dann durch /(-2) dividiere, um die PQ-Formel anzuwenden.
Eine Kommilitionin hatte zu dem das gleiche Ergebnis wie ich nur mit umgedrehten Vorzeichen und gedrehten Relationszeichen. Daraus habe ich schließen wollen, dass ich meine Ungleichung mit (-1) multiplizieren kann, dann wären unsere Ergebnisse nicht verschieden. Nur stellt sich die Frage, wie gehe ich denn jetzt letztendlich bei der Definierung genau vor, welcher meiner X-Werte nun Größergleich/Kleinergleich bzw. Kleiner/Größer.

Ist meine Auffassung überhaupt richtig, dass ich meinen Term einfach mit (-1) multiplizieren kann?

Wenn dem so ist, dann müsste die Interpretation ja aus allen Ergebnissen zum gleichem Ziel führen. Die Frage ist dann nur wie die richtige Vorgehensweise ist. Zudem ist verwirrend, dass das Ergebnis der Dozentin im Bezug auf die Ungleichung und die Richtung des Relationszeichens nicht für mich logisch auf meinen Lösungsweg transportierbar ist.

Auch habe ich überlegt, ob das Minus vor dem X^2 ebenfalls eine Rolle spielt.

Langer Rede kurzer Sinn, ich schreibe nächste Woche Mittwoch meine Mathe-1 Klausur und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand eine sichere, kurze... einfache ... Methode geben kann, woran ich mich orientieren kann, bei der Bestimmung des richtigen Relationszeichens zum richtigen meiner zwei X-Werte, welche ich durch die PQ-Formel erhalte.

Liebe Grüße aus Koblenz
Mike
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsungleichung Fallunterscheidung Definitionsbereich
Erste Antworten kurz und prägnant:

Zitat:

Da ich hier ein Minus vor dem Betrag habe und den Betrag aber unaufgelöst, also im noch im Betrag gelassen, rüber multipliziere bin ich davon ausgegangen, dass aufgrund des Minuszeichens davor sich das Relationszeichen dann einmal umdreht.

Richtig.

Zitat:

Als weiteren Gedanken hatte ich, das Minuszeichen in den Zähler zu setzen und dann nur den Betrag auf die andere Seite zu multiplizieren, dann würde sich das Relationszeichen nicht drehen.

Richtig.

Zitat:

Kann ich das Minuszeichen überhaupt einfach in den Zähler setzen?

Ja. Du kannst es sogar ganz verschwinden lassen, indem Du es in die Klammer ziehst. Das ergäbe dann

Für alles Weitere muß ich die Aufgabe zunächst selbst komplett durchrechnen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MikeV
wenn mir jemand eine sichere, kurze... einfache ... Methode geben kann

Zunächst muss sein. Unter dieser Prämisse zunächst ein paar äquivalente Umformungen:





a) Für ist das stets erfüllt, weil links was nichtpositives steht, während rechts ein Betrag steht, der stets nichtnegativ ist.

b) Für betrachten wir zwei Unterfälle:

b1)


mit den beiden Lösungsintervallen und (letzteres der Fallbedingung b) wegen).

b2)
,

Widerspruch, es gibt in diesem Unterfall daher keine Lösungen.


Die Intervalle aus a) und b1) aufgesammelt bekommt man Lösungsmenge .


EDIT: Upps, zu lange nicht aktualisiert.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
EDIT: Upps, zu lange nicht aktualisiert.


Ach laß ma. Warst mir weit voraus und hast mir quasi Arbeit erspart ... Wink
MikeV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir vielmals bis hierhin, dann bin ich schon mal froh, dass ich die Operationen die ich durchgeführt habe und durchführen möchte möglich sind.

Ich bin davon ausgegangen, dass man immer nur die Beträge bzw. Nenner mit X bei Umformungen prüft, daher verstehe ich es jetzt nicht so ganz an welchem Punkt hier genau die Prüfung stattfindet von x≠2. Ich bin bisher leider in dem Thema noch nicht zu einem tieferen Verständnis gelangt und habe mich bisher immer mit meiner Art Schema durchgeprüft.

Gibts hier eine Art Schema/Vorgehensweise mit dem ich vorgehen kann, um die Relationszeichen richtig zuordnen kann? Kann ich es irgendwie schon am letzten Term vor der PQ-Formel erkennen welcher X-Wert das Größergleich Zeichen bekommt und welcher das kleiner Zeichen? Unabhängig davon was nachher bei der Lösungsmenge rauskommt, also erst mal nur rein logisch eine Zuordnung der Relationszeichen, ob diese Werte nachher im Definitionsbereich sind würde ich dann separat prüfen, durch Zeichnung des Zahlenstrahls und zusammenführen der Grenzen und der Werte.

Wäre mein erster Fall bis dorthin überhaupt richtig?

LG
MikeV Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir hier vielleicht bitte jemand Hilfestellung geben?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MikeV
Kann ich es irgendwie schon am letzten Term vor der PQ-Formel erkennen welcher X-Wert das Größergleich Zeichen bekommt und welcher das kleiner Zeichen?

Du kannst folgendes machen: Ist die Diskriminante der quadratischen Gleichung negativ, dann besitzt diese Gleichung ja keine reellen Lösungen - genauer: Es ist für ALLE reellen . Das ist also in dieser Weise zu berücksichtigen, was ich oben gewissermaßen bei



getan habe, das ist nämlich genau so ein Fall.


Ist hingegen , so gibt es zwei reelle Lösungen dieser Gleichung mit o.B.d.A. . Diese Lösungen ermöglichen eine Linearfaktorzerlegung , die dann folgendes bedeutet: Es ist

für
für oder
sonst (d.h. für oder )
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