Differentialgleichung (beschränktes) Wachstum

02.02.2020, 20:59

Letti

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Differentialgleichung (beschränktes) Wachstum

Meine Frage:
Hallo Ihr,
Ich bräuchte bei folgenden Aufgaben sehr dringend Hilfe!

Meine Ideen:
Wir haben im Unterricht nur die Ableitungen (Differenzialgleichungen) von exponentiell en und begrenzten Wachstum durchgenommen und mehr leider auch nicht, weshalb ich noch nicht einmal weiß, wo ich beginnen soll.

02.02.2020, 22:13

superbowl

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Würdest du denn sagen die Temperatur steigt/sinkt hier exponentiell beliebig hoch an bzw. tief ab oder gibt es da eher eine Grenze, die man nicht über- bzw. unterschreiten kann ?

Die Antwort darauf sagt dir schon mal, ob es sich nun um exponentielles oder beschränktes Wachstum handelt.

03.02.2020, 07:45

Ulrich Ruhnau

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RE: Differenzialgleichungen
Die Änderungsrate $\begin{eqnarray*} \frac{dT}{dt} \end{eqnarray*}$ ist proportional zur Differenz der Umgebungstemperatur $\begin{eqnarray*} T_0 \end{eqnarray*}$ und der Temperatur $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ des Körpers. So steht es in der Aufgabenstellung. Dabei steht t für die Zeit und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist eine Propotionalitätskonstante (die ich jetzt mal eingeführt habe).
D.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{dT}{dt}=\gamma (T_0-T) \end{eqnarray*}$

Diese Differentialgleichung löst man durch Trennung der Veränderlichen (das sind hier $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ). Wenn Du diese DGL richtig löst, dann wirst Du sehen, daß sich die Temperatur vom Saft der Umgebungstemperatur exponentiell annähert. Nur beim Abkühlen auf -5 °C wird der Saft eine kleine Gefrierpause machen, um zu Eis zu gefrieren. Dabei bleibt die Temperatur des Saftes konstant auf 0 °C. Anschließend sinkt die Temperatur exponentiell weiter.

03.02.2020, 12:07

Letti

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RE: Differenzialgleichungen
Edit (mY+): Vollzitat entfernt.

Hallo,

Nach deiner Formel wäre das doch begrenztes Wachstum oder nicht? Wir haben nämlich im. Unterricht besprochen dass die DFG davon f'(x) =k*(S- f(x)) beträgt, wie kann es denn doch exponentielles sein? Ich habe irgendwo einen Denkfehler, aber ich hatte als erstes auch an begrenztes gedacht, da der Saft nicht wärmer als 25°C werden kann.

03.02.2020, 12:18

superbowl

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Begrenztes Wachstum ist richtig.
Die Werte für k und S sind gegeben.
Jetzt kommt es darauf an, ob ihr im Unterricht schon eine allgemeine Lösung für deine DGL bestimmt habt (dann kannst du sie natürlich direkt benutzen und musst nur an den richtigen Stellen die passenden Werte einsetzen) oder ob du selbst ran musst und diese DGL mittels Integration löst.

03.02.2020, 12:24

mYthos

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Die letztgenannte Differentialgleichung führt auf eine logistische Wachstumsfunktion (nach Verhulst)!
Dabei ist die momentane Änderungsrate proportional zum momentanen Bestand UND zum Sättigungsmanko.
S ist der Grenzwert (Schranke) dieser Art des Wachstums.

Hier im Forum wurde diese Differentialgleichung hergeleitet und auch gelöst (!).
Und es gibt auch zahlreiche Beispiele hierzu!

Bitte nutze die Boardsuche und siehe auch von Vollzitaten ab! Es funktioniert auch der Antwort-Button!

Logistisches Wachstum DGL Herleitung

Wenn du dann Fragen hast, konkretisiere diese dann, da können wir natürlich helfen.

mY+

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03.02.2020, 12:50

Letti

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Zitat:

Original von mYthos
Die letztgenannte Differentialgleichung führt auf eine logistische Wachstumsfunktion (nach Verhulst)!
Dabei ist die momentane Änderungsrate proportional zum momentanen Bestand UND zum Sättigungsmanko.
S ist der Grenzwert (Schranke) dieser Art des Wachstums.

Hier im Forum wurde diese Differentialgleichung hergeleitet und auch gelöst (!).
Und es gibt auch zahlreiche Beispiele hierzu!

Bitte nutze die Boardsuche und siehe auch von Vollzitaten ab! Es funktioniert auch der Antwort-Button!

Logistisches Wachstum DGL Herleitung

Wenn du dann Fragen hast, konkretisiere diese dann, da können wir natürlich helfen.

mY+

Hallo, ich weiß das mit dem zitieren. Jedoch funktioniert bei mir Mathe Board auf dem Handy nicht wirklich gut. Ich kann nur per Zitat das geschriebene abschicken. Wenn ich nur auf antworten drücke, dann kann ich aufgrund des zu großen Fenster nicht auf Antwort erstellen drücken. (klappt auch nicht mit Desktopmodus)

03.02.2020, 13:08

Huggy

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Zitat:

Original von mYthos
Die letztgenannte Differentialgleichung führt auf eine logistische Wachstumsfunktion (nach Verhulst)!

Welche letztgenannte DGL? Das müsste doch sein:

Zitat:

Original von Letti

Nach deiner Formel wäre das doch begrenztes Wachstum oder nicht? Wir haben nämlich im. Unterricht besprochen dass die DFG davon f'(x) =k*(S- f(x)) beträgt.

Das ist aber keineswegs die DGL für logistisches Wachstum, sondern die für begrenztes Wachstum/begrenzte Abnahme. Und darum geht es auch in der Aufgabe.

03.02.2020, 17:14

mYthos

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@Huggy, ja stimmt. Ich habe in dem Beitrag nicht genau nachgelesen.
---------

$\begin{eqnarray*} f'(x)= k \cdot (S - f(x)) \end{eqnarray*}$ ist die Funktion des beschränkten Wachstums / der beschränkten Abnahme*, Schranke S

$\begin{eqnarray*} f'(x)= k \cdot f(x) \cdot (S - f(x)) \end{eqnarray*}$ ist die Funktion des logistischen Wachstums

Da hatte ich also ein f(x) zu viel Big Laugh

Big Laugh

Auch zu der ersten Funktion gibt es hierboards einige Threads (Temperaturabnahme, etc.), samt Lösung der Diffgl.

mY+

(*) die Gleichungen sind analog. Worin liegt der Unterschied?

04.02.2020, 00:10

Ulrich Ruhnau

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RE: Differenzialgleichungen

Zitat:

Original von Letti
Nach deiner Formel wäre das doch begrenztes Wachstum oder nicht? Wir haben nämlich im. Unterricht besprochen dass die DFG davon f'(x) =k*(S- f(x)) beträgt, wie kann es denn doch exponentielles sein? Ich habe irgendwo einen Denkfehler, aber ich hatte als erstes auch an begrenztes gedacht, da der Saft nicht wärmer als 25°C werden kann.

Der Saft wird im Aufgabenteil a nicht wärmer als 25 °C und im Aufgabenteil b nicht kälter als -5 °C. Das kann man an der graphischen Lösung sehr gut sehen (wenn man hineinklickt).
[attach]50597[/attach]
Die rote Kurve beschreibt den Temperaturverlauf $\begin{eqnarray*} T_a(t) \end{eqnarray*}$ im Aufgabenteil a. Man sieht, wie die Temperatur von $\begin{eqnarray*} T_a(0) = \end{eqnarray*}$ 10 °C auf $\begin{eqnarray*} T_a(\infty)= \end{eqnarray*}$ 25 °C ansteigt. Die blaue Kurve stellt den Temperaturverlauf T_b(t) im Aufgabenteil b dar. Da ist das Glas bei $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ 20 °C warm und 15 Minuten später bei $\begin{eqnarray*} t=15 \end{eqnarray*}$ min beträgt $\begin{eqnarray*} T_b(15)=5 \end{eqnarray*}$ °C. Zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t\approx 26 \,\rm min \end{eqnarray*}$ ist der Gefrierpunkt erreicht. Weil der Saft hauptsächlich aus Wasser besteht, fängt der Saft langsam an zu gefrieren. Das dauert ca. eine halbe Stunde. Dabei bleibt die Temperatur des Orangensaftes konstant auf 0 °C. Erst danach sinkt die Temperatur weiter exponentiell. Leider konnte ich das nicht einzeichnen, weil ich mich mit dem Zeichenprogramm GeoGebra nicht so gut auskenne.

Schauen wir uns an, wie man das rechnet!

$\begin{eqnarray*} \frac{dT}{dt}=\gamma (T_0-T) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{dT}{T_0-T}=\gamma \int_{}^{} \! dt \end{eqnarray*}$

Ab hier hilft eine Substitution mit $\begin{eqnarray*} u = T-T_0 \end{eqnarray*}$ .
Die Ableitung ergibt $\begin{eqnarray*} du=dT \end{eqnarray*}$ .

Einsetzen ergibt: $\begin{eqnarray*} -\int_{}^{} \! \frac{du}{u}=\gamma \int_{}^{} \! dt \end{eqnarray*}$

Ab jetzt bin ich gespannt, ob Du allein weiter rechnen kannst.

04.02.2020, 06:19

Leopold

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@ alle Helfer

Ich befürchte, daß man hier aneinander vorbeiredet. Ihr dürft nicht davon ausgehen, daß dem Fragesteller Differentialgleichungen an sich und Lösungskalküle bekannt sind. Versuche, mit Trennen der Veränderlichen oder sonstigen Verfahren Lösungen zu generieren, helfen daher nicht, sondern verwirren nur. Der Fragesteller kennt ein, zwei, drei ganz spezielle Differentialgleichungen und ihre Lösungen. Ziel muß es daher sein, die spezielle Differentialgleichung zu erkennen, eventuell durch kleinere Umformungen (zum Beispiel Ausklammern, Produkte von Konstanten als eine Generalkonstante wahrnehmen und so weiter). Dann kann auch die Lösung angegeben werden.
Falls ich mich irren sollte und Letti geübt darin ist, Differentiale von links nach rechts und von oben nach unten zu schmeißen, ist dieser Beitrag hier obsolet. Vielleicht äußert sich Letti einmal dazu.

04.02.2020, 10:18

Letti

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Wir haben im Unterricht wirklich nur exponentielles und begrenztes Wachstum gemacht, indem wir eine Differentialgleichung gegeben hatten und die Lösung angeben sollten und umgekehrt. Also Formel aufgeschrieben, eingesetzt und das wars. Wir hatten noch nichts mit Umformungen oder ähnliches. Das ist wirklich die erste Aufgabe die wir in irgendeiner Weise mit Differentialgleichungen lösen sollen.

04.02.2020, 11:16

mYthos

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@Leopold, du hast Recht; wir machen mal Nägel mit Köpfen, der Worte sind genug gewechselt! Big Laugh

Big Laugh

:

Bei begrenztem Wachstum (Zuname):

$\begin{eqnarray*} f'(x) = k \cdot (S - f(x) \end{eqnarray*}$ .. S Grenzwert,

$\begin{eqnarray*} S - f(x) \end{eqnarray*}$ ist das sogenannte Sättigungsmanko, $\begin{eqnarray*} f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ , der Faktor $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ selbst soll positiv bleiben (in der Lösung bekommt er Minus davor!)

Die Lösung der DiffGl. geschieht - wie gesagt - mittels Trennung der Variablen

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd f}{S - f(x)} = k \dd t \ | \ \text{Int} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \ln (S - f(x)) = kx + c_1\ | \ \text{exp} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S - f(x) = c e^{-kx} \quad [ e^{-c_1} = c, c > 0!] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = S - c e^{-kx} \end{eqnarray*}$
============

Begrenzte Abnahme:

$\begin{eqnarray*} f'(x) < 0 \ \to \ f'(x) = -k(f(x) - S) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = S + c e^{-kx} \end{eqnarray*}$
============

Sowohl in der Funktion der Zuname (Erwärmung) als auch in der bei der Abnahme (Abkühlung, Zerfall) steht im Exponenten vor dem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ noch ein negatives Vorzeichen (k selbst ist positiv)!

Bei der Integration des Bruches ist nicht unbedingt eine Substitution nötig, denn im Nenner steht ein Linearfaktor, auf den die Integrationsregel direkt angewandt werden kann.
---------

Zur Vertiefung erstelle nun die Konstanten dieser Funktion mit deinen gegebenen Anfangswerten und skizziere diese!

Bei Abhängigkeiten von der Zeit t ist an Stelle von x t zu setzen.

@Letti, es wäre recht, wenn du deine Fragen und auch deinen Wissenstand etwas konkretisieren und auch Rechnungen zeigen könntest.

Edit (mY+): Fehler berichtigt.

mY+

04.02.2020, 12:16

superbowl

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@ mythos

Ob der Hinweis von Leopold wirklich so gemeint war... verwirrt

verwirrt

@ Letti

Zitat:

Also Formel aufgeschrieben, eingesetzt und das wars. Wir hatten noch nichts mit Umformungen oder ähnliches

Was hindert dich daran - wie ich bereits erwähnte - das nun ganz analog bei dieser Aufgabe zu tun ?
Wenn du mit "Formel aufgeschrieben" meinst, dass ihr schon im Unterricht für das beschränkte Wachstum die Lösung der DGL mit $\begin{eqnarray*} f(x)=S-(S-f(0)) \cdot e^{-kx} \end{eqnarray*}$ hergeleitet habt, dann setze halt die im Aufgabentext gegebenen Werte für S, f(0) und k ein und fertig bist du.

04.02.2020, 15:13

Letti

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Zitat:

@Letti, es wäre recht, wenn du deine Fragen und auch deinen Wissenstand etwas konkretisieren und auch Rechnungen zeigen könntest.

mY+

Ich habe mal die Rechnungen angefügt.

04.02.2020, 19:30

superbowl

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Du reagierst zwar scheinbar nur auf die Beiträge von mythos, aber schon mal von mir:

Du hast alles richtig gemacht Freude

Freude

04.02.2020, 19:40

Letti

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Meine Antwortfunktion funktioniert leider nicht so wie ich will. Deshalb habe ich versucht da zu antworten, wo es klappt. Danke für die schnelle Antworten. Das Verständnis ist nach den ganzen Tipps auch endlich da. Mir war es wichtig zu verstehen wie man zum richtigen Ergebnis kommt.

04.02.2020, 19:57

superbowl

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Wie du gesehen hast, ging es bis jetzt noch recht simpel einfach durch Einsetzen der Werte an den richtigen Stellen.
Je nach dem ob du Mathe GK oder LK hast und in welchem Bundesland du zur Schule gehst, kann es sein, dass das Thema noch weiter vertieft wird (Lösen von DGL mittels Integration).
Aber das wird sich dann ja zeigen.

Viel Erfolg weiterhin Wink

Wink

04.02.2020, 22:40

Ulrich Ruhnau

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Bravo Letti, alles richtig! Mit diesen Formeln habe ich meine Grafen auch gezeichnet.

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