Erwartungswert-Ungleichung mit konvexer Funktion

11.02.2020, 11:52

Waldemar123456789

Erwartungswert-Ungleichung mit konvexer Funktion

Hallo zusammen,

mir ist nicht klar, warum folgende "Tatsache" gilt:

Angenommen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ sind Zufallsvariablen mit den selben Erwartungswert. Ferner sei angenommen, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nur zwei Extremwerte annimmt, während $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Werte zwischen diesen zwei Extremwerte annimmt. Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine konvexe Funktion. Dann gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}\left[f(A)\right]\le \mathbb{E}\left[f(B)\right] \end{eqnarray*}$ .

Die Jensen Ungleichung besagt ja, das $\begin{eqnarray*} f\left( \mathbb{E}\left[A\right]\right)\le\mathbb{E}\left[f(A)\right] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f\left( \mathbb{E}\left[B\right]\right)\le\mathbb{E}\left[f(B)\right] \end{eqnarray*}$ und ferner soll ja $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}\left[A\right]= \mathbb{E}\left[B\right] \end{eqnarray*}$ gelten, also auch $\begin{eqnarray*} f\left(\mathbb{E}\left[A\right]\right)= f\left(\mathbb{E}\left[B\right]\right) \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß nicht wie man mithilfe dessen die obige Tatsache folgern kann. Kann mir jemand hierbei helfen?

11.02.2020, 13:50

HAL 9000

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Seien $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} u<v \end{eqnarray*}$ ) die beiden Randpunkte des Intervalls, auf dem $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ verteilt ist, und damit gleichzeitig die einzigen beiden Werte, die $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ annehmen kann. Für alle $\begin{eqnarray*} t\in [u,v] \end{eqnarray*}$ gilt nun aber der Konvexität wegen $\begin{eqnarray*} f(t)\leq f(u) + \frac{t-u}{v-u}(f(v)-f(u)) \end{eqnarray*}$ (in Worten: die konvexe Kurve liegt im gesamten Intervall unterhalb der Verbindungsstrecke der beiden Kurvenendpunkte). Damit folgt

$\begin{eqnarray*} E\left[f(A)\right]\leq E\left[ f(u) + \frac{A-u}{v-u}(f(v)-f(u)) \right] = f(u) + \frac{E[A]-u}{v-u}(f(v)-f(u)) = f(u) + \frac{E[B]-u}{v-u}(f(v)-f(u)) \stackrel{!}{=} E\left[f(B)\right] \end{eqnarray*}$

Letzteres $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray*}$ beruht darauf, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nur die beiden Werte $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ annehmen darf - rechne das mal nach!

EDIT (13.2.): Da hat der Waldemar wohl das Interessse verloren.

13.02.2020, 14:16

Waldemar123456789

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Zitat:

Original von HAL 9000

Letzteres $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray*}$ beruht darauf, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nur die beiden Werte $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ annehmen darf - rechne das mal nach!

EDIT (13.2.): Da hat der Waldemar wohl das Interessse verloren.

Aufgrund von $\begin{eqnarray*} E[B]=u\mathbb{P}(B=u)+ v\mathbb{P}(B=v) =u(1-\mathbb{P}(B=v))+ v\mathbb{P}(B=v)=u+\mathbb{P}(B=v) (v-u) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \mathbb{P}(B=v)=\frac{E[B]-u}{v-u} \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} E\left[f(B)\right] = f(u)\mathbb{P}(B=u)+f(v)\mathbb{P}(B=v) = f(u)(1-\mathbb{P}(B=v))+f(v)\mathbb{P}(B=v)=f(u)+(f(v)-f(u))\mathbb{P}(B=v)= f(u) + \frac{E[B]-u}{v-u}(f(v)-f(u)) \end{eqnarray*}$

gilt. Danke für deine Hilfe HAL 9000

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