Existenz des Grenzwertes einer Folge in einem archimedischen Körper

12.02.2020, 12:32	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz des Grenzwertes einer Folge in einem archimedischen Körper Hi, Wenn ich eine Folge $\begin{eqnarray} \phi:\mathbb{N}\rightarrow K \end{eqnarray}$ in einem archimedisch angeordneten Körper K betrachte mit Grenzwert a. Existiert dann der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray} f:\mathbb{N}\rightarrow K:n\mapsto \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\phi(n) \end{eqnarray}$ ? Ich bin so vorgegangen: Für e>0 wähle ich eine natürliche Zahl N so, dass für alle n >N gilt, dass $\begin{eqnarray} \|\phi(m)-a\|<e \end{eqnarray}$ ist. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \| f(n)-a \| \leq \|\frac{(\phi(0)-a)}{n+1}\|+\|\frac{(\phi(1)-a)}{n+1}\|+...+\|\frac{(\phi(N-1)-a)}{n+1}\|+\|\frac{(\phi(N)-a)}{n+1}\|+\|\frac{(\phi(n)-a)}{n+1}\| \end{eqnarray}$ . Für n gegen unendlich gehen die Summanden von 0 bis N-1 gegen 0 wegen der archimedischen Anordnung. Die restlichen Summanden sind kleiner als e und damit ihre Summe kleiner als $\begin{eqnarray} \|\frac{(n-N)e}{n+1}\| \end{eqnarray}$ was im Grenzwert für n gegen unendlich gegen e geht. Nun ist meine Frage: Darf ich mitten in dieser Abschätzung einen Grenzwert bilden? Die ersten paar Summanden gehen ja von oben gegen 0?! Vielen Dank!
12.02.2020, 13:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Von archimedisch angeordneten Körpern weiß ich wenig, aber wenn du Grenzwerte betrachten willst, benötigst du ja zumindest eine Topologie auf deinem $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Von der hast du nichts erzählt, bis du dann in deinem Weg plötzlich mit Beträgen operierst. Ich gehe daher davon aus, dass du $\begin{eqnarray} \|\ldots\| \end{eqnarray}$ als Norm $\begin{eqnarray} K\to \mathbb{R}_{0+} \end{eqnarray}$ vorliegen hast, auf der dann die Topologie basiert. Ansonsten: Deine Behauptung ist der Cauchysche Grenzwertsatz.
12.02.2020, 14:13	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Das beantwortet alle meine Fragen

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