Stetigkeit Differenzierbarkeit

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14.02.2020, 17:17	Matheraetsel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Differenzierbarkeit Hallo Forumsmitglieder. Ich habe ein Problem bei der unten angegebenen Aufgabe. Mein Lösungsansatz wäre die 1. und 2. Gleichung jeweils mit den Werten für x gleichzusetzen. Also 2+cos(-pi/2)=c1+c2+sin(pi/2). Und das gleiche für die 2. und 3. Gleichung und aus den beiden gleichungen dann C1 und c2 bestimmen aber irgednwie komme ich da nicht voran. Bei dem zweiten Teil der Aufgabe würde ich erst ableiten und dann das gleiche machen. Stimmt das so oder wo mache ich einen Fehler? Ich sag schon mal Vielen Dank und ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen so wie bis jetzt immer [attach]50627[/attach]
14.02.2020, 17:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2+cos(-pi/2)=c1+c2sin(-pi/2) \end{eqnarray}$ beachte das Vorzeichen auf der rechten Seite $\begin{eqnarray} c1+c2sin(pi/2)=1-3sin(3pi/2) \end{eqnarray}$ Dann kannst du die Werte der Winkelfunktionen einsetzen und bekommst ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und den 2 Unbekannten c1 und c2.
14.02.2020, 18:15	Matheraetsel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Habe meinen Fehler gefunden. Hoffe ich mal Wenn ich alles richtig gelöst habe müsste für c1 =3 und für c2=1rauskommen? Nur wie ich das jetzt mit dem differenzieren mache ist mir noch nicht ganz klar. Hättest du einen Lösungsansatz für mich ? Ableiten und die Stellen einsetzen ? Danke
14.02.2020, 18:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeichnen und anschauen. Gezeichnet habe ich. Anschauen darfst du.
14.02.2020, 19:13	Matheraetsel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh danke für die Grafik aber wirklich weitergebracht hat sie mich nicht..
14.02.2020, 19:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
g(x) ist von links bis -pi/2 die rote Kurve, bei -pi/2 trifft sie die blaue Kurve (so wie es sein soll). Zwischen -pi/2 und pi/2 ist g(x) die blaue Kurve, bei pi/2 trifft sie die grüne Kurve (so wie es sein soll). Von pi/2 nach rechts ist g(x) die grüne Kurve. Wo ist das Problem ? g(x) ist überall stetig. g(x) ist überall differenzierbar außer an einer Stelle.
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16.02.2020, 16:30	Matheraetsel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Also an der stelle pi/2?
16.02.2020, 16:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]50634[/attach] Wo ist der Knick?
16.02.2020, 16:53	Matheraetsel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
So langsam verstehe ich was Elvis mir mit der Grafik sagen wollte. Also an der Stelle x=-Pi/2? an der stelle x=pi/2 ja nicht ? Und wie beweise ich das jetzt Mathematisch? Vielen Dank.. Bei dieser Aufgabe stehe ich wirklich auf dem Schlauch Ist auch die letzte die mir fehlt. Wäre also schön sie endlich abschließen zu können
16.02.2020, 17:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe hier den Anhang
16.02.2020, 17:55	Matheraetsel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
lim x-> -Pi/2: -sin(-pi/2) =1 lim x-> -Pi/2: 3cos( -pi/2)=0 => Widerspruch, an der Stelle x=-pi/2 nicht diffenrenzierbar lim x-> Pi/2: 3cos(pi/2)=0 lim x-> Pi/2: -9cos(pi/2)=0 => an der Stelle x=pi/2 differenzierbar stimmt das so ? der Limes muss ja dabei stehen oder ?
16.02.2020, 18:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Variable verschwinden lassen. Zudem sind hier einseitige Limites zu betrachten: $\begin{align} \lim_{x \uparrow - \frac{\pi}{2}} \left( - \sin(x) \right) = 1 \, , \ \ \lim_{x \downarrow - \frac{\pi}{2}} \left( 3 \cos(x) \right) = 0 \end{align}$ Beachte auch, daß an der Stelle $\begin{align} x_0 = \frac{\pi}{2} \end{align}$ zuerst die Stetigkeit zu überprüfen ist. Erst dann kann durch Vergleich der Limites der Ableitung über die Differenzierbarkeit entschieden werden. Simples Beispiel: $\begin{align} g(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 0 \\ x^2 - 1, & x>0 \end{cases} \end{align}$ Es gilt $\begin{align} \lim_{x \uparrow 0} g'(x) = \lim_{x \downarrow 0} g'(x) = 0 \end{align}$ , dennoch ist $\begin{align} g \end{align}$ bei $\begin{align} x_0 = 0 \end{align}$ nicht differenzierbar. Für den rechtsseitigen Limes des Differenzenquotienten gilt: $\begin{align} \lim_{h \downarrow 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = \lim_{h \downarrow 0} \frac{h^2-1-1}{h} = \lim_{h \downarrow 0} \frac{h^2 - 2}{h} = - \infty \end{align}$
16.02.2020, 18:25	Matheraetsel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Im ersten Teil der Aufgabe waren doch die Konstanten C1 und C2 so zu bestimmen, dass die Funktion überall stetig ist. Also muss ich doch an der Stelle pi/2 nicht zuerst die Stetigkeit überprüfen oder ?
16.02.2020, 18:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Du solltest bei der Begründung der Differenzierbarkeit aber genau auf diesen Umstand hinweisen.
16.02.2020, 18:41	Matheraetsel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar mache ich. Dann sage ich mal vielen vielen Dank an alle. Endlich kann ich die Aufgabe abhaken

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