Prüfen ob uneigentliches Integral bzw. Cauchy-Hauptwert existiert

18.02.2020, 02:05

tennis98

Prüfen ob uneigentliches Integral bzw. Cauchy-Hauptwert existiert

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R }^{} \!\frac{x+sinx}{1+x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hätte versucht den Limes gegen unendlich von F(x)-F(-x) auf Konvergenz zu prüfen. Jedoch hab ich Probleme die Stammfunktion zu bestimmen. Deswegen frage ich mich ob es noch eine andere Möglichkeit gäbe.

18.02.2020, 05:59

CrazyL

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RE: Prüfen ob uneigentliches Integral bzw. Cauchy-Hauptwert existiert
Per Stammfunktion lässt sich die Aufgabe nicht lösen, da braucht es andere Methoden - wie diesen praktischen Satz für ungerade Funktionen:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} f: [-a;a]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ungerade und integrierbar, dann ist $\begin{eqnarray*} \int_{-a}^af(x)\:dx=0 \end{eqnarray*}$

Damit lässt sich der Cauchy'sche Hauptwert berechnen. Für die zweite Frage benutze die Definition des uneigentlichen Integrals: Was muss gelten, damit ein uneigentliches Integral vom Typ $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}}f(x)\:dx \end{eqnarray*}$ überhaupt existiert?

Danach wird $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abgeschätzt - durch eine konvergente Majorante, wenn man denkt, das Integral exisitert, sonst durch eine divergente Minorante.

22.02.2020, 11:30

RomanGa

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RE: Prüfen ob uneigentliches Integral bzw. Cauchy-Hauptwert existiert
Hm… Vier Tage keine Antwort. Der Fragesteller hat das Interesse verloren. Also: Erster Check: Alleine schon das uneigentliche Integral int(0, unendlich) 2x/(1 + x^2) dx divergiert. Denn das gibt [ln(1 + x^2)](0, unendlich) = unendlich – 0 = unendlich. Also muss der interessierte Leser eine divergente Minorante finden. :-)

23.02.2020, 17:01

CrazyL

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RE: Prüfen ob uneigentliches Integral bzw. Cauchy-Hauptwert existiert
Die Begründung geht aber nur, weil der andere Teil des Integrals konvergiert (was man noch zeigen müsste)! Gegenbeispiel:
$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\:dx=\ln(2), \end{eqnarray*}$

obwohl die beiden Teile des Integrals (für sich genommen) divergieren!

23.02.2020, 18:08

RomanGa

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RE: Prüfen ob uneigentliches Integral bzw. Cauchy-Hauptwert existiert
Hallo CrazyL, sehr schönes Beispiel. Freude

Was ich gemacht hatte, diente nur dazu, eine Idee zu bekommen, ob hier Konvergenz oder Divergenz vorliegen könnte. Ich habe weitergemacht mit einer divergenten Minorante und konnte damit sicher zeigen, dass das Integral divergiert.

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