Wurzel(3) in Q(Wurzel(2))?

19.02.2020, 20:58

Asau

Wurzel(3) in Q(Wurzel(2))?

Meine Frage:
Hi,

ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}\notin \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Ist das so okay?

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ eine Basis:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}=a+b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3=a^2+2ab\sqrt{2}+2b^2 \end{eqnarray*}$ geht nur, wenn $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ ist. $\begin{eqnarray*} 3=a^2 \end{eqnarray*}$ geht aber bekanntlich nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$

19.02.2020, 22:09

Elvis

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Eine Basis ist $\begin{eqnarray*} \{1, \sqrt 2\} \end{eqnarray*}$ . Alles andere stimmt so. Etwas genauere Begründung, warum b=0 sein muss, wäre besser. Dito, warum ist 3 kein rationales Quadrat? "Bekanntlich" ist schon richtig, aber eben kein Beweis.

20.02.2020, 08:57

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
Etwas genauere Begründung, warum b=0 sein muss, wäre besser.

Ich finde überhaupt, daß das der Punkt in Asaus Argumentation ist. Und eine Begründung hierfür kann ich nirgendwo erkennen.

22.02.2020, 14:27

Asau

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Ah, jetzt sehe ich, was ihr meint.

Ich müsste stattdessen? die Fälle $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ untersuchen, oder?

22.02.2020, 17:52

Elvis

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RE: Wurzel(3) in Q(Wurzel(2))?
Nein, dein Ansatz ist gut, aber du musst deine Behauptungen beweisen.

Zitat:

Original von Asau
$\begin{eqnarray*} 3=a^2+2ab\sqrt{2}+2b^2 \end{eqnarray*}$ geht nur, wenn $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von Asau
$\begin{eqnarray*} 3=a^2 \end{eqnarray*}$ geht aber bekanntlich nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$

22.02.2020, 23:16

Guppi12

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Ich würde da schon zustimmen, die beiden Fälle a=0 und b=0 sind beide zu untersuchen. Direkt sieht man nur, dass ab=0 gelten muss und da sind diese beiden Fälle m.E. nach völlig gleichwertig.

22.02.2020, 23:56

Leopold

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Einfacher wird es vielleicht, wenn man vor dem Quadrieren $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ auf verschiedene Seiten der Gleichung bringt, zum Beispiel

$\begin{align*} \sqrt{3} - b \sqrt{2} = a \end{align*}$

Wenn man dann das Glied mit $\begin{align*} \sqrt{6} \end{align*}$ isoliert, erkennt man, daß im Falle $\begin{align*} b \neq 0 \end{align*}$ eine irrationale Zahl einer rationalen gleich wäre, was nicht geht. Also muß $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ sein. Dann ist man auch schnell bei $\begin{align*} a \end{align*}$ .

23.02.2020, 11:08

Asau

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Okay super, danke euch, auch für den Tipp mit dem Separieren von a und b! Freude

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