Kern & Bild berechnen + Untervektorraum

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Kern & Bild berechnen + Untervektorraum
Hey Leute Wink

Könnt ihr mir bitte dabei helfen Kern und Bild der linearen Abbildung auszurechnen und zu sagen von welchem Vektorraum sie jeweils Untervektorräume sind?

Ich denke ist ein UVR des und ist ein UVR von .

Aber das kann doch nicht stimmen, oder?? Wenn im Kern nur die Null liegt, müsste die Abbildung injektiv sein. Das geht doch aber bei linearen Abbildungen nur bei einem Endomorphismus, also einer quadratischen Abbildungsmatrix, oder? Außerdem würde das allein schon von der Dimensionsformel her nicht passen, weil .

Ist mir ein bisschen peinlich das zu fragen, weil ichs eigentlich verstanden habe. Könnt ihr mir bitte helfen?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern & Bild berechnen + Untervektorraum
Das wirkt alles ein bisschen wirr. Magst du mal die komplette Aufgabenstellung 1 zu 1 hier wiedergeben? Was genau ist zum Beispiel ?

Im Falle einer linearen Abbildung ist der Kern immer ein UVR von und das Bild immer ein UVR von . Endomorphismus heißt erstmal nur, dass ist.

Bei der Anwendung des Dimensionssatzes ist wohl einiges schief gelaufen. Magst du den nochmal nachlesen? Bild und Kern hast du auch falsch bestimmt. Glaube ich jedenfalls, denn wie gesagt, ich bitte darum, erstmal die ganze Aufgabe vollständig wiederzugeben, um Missverständnissen vorzubeugen.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern & Bild berechnen + Untervektorraum
Aufgabe: Gegeben sei die Matrix . Bestimmen Sie Kern und Bild der Abbildung mit .
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern & Bild berechnen + Untervektorraum
Zitat:
Original von MasterWizz
Aufgabe: Gegeben sei die Matrix . Bestimmen Sie Kern und Bild der Abbildung mit .

Ah, okay. Dann sind Bild und Kern soweit doch richtig.

Die Abbildung ist injektiv, ja. Das hast du ganz richtig erkannt. Aber eine lineare Abbildung muss doch kein Endomorphismus sein, um injektiv sein zu können. Wie kommst du denn auf diese Vermutung? Da hast du doch gleich bei dieser Aufgabe schon ein schönes Gegenbeispiel dafür.

Zitat:
Original von MasterWizz
Außerdem würde das allein schon von der Dimensionsformel her nicht passen, weil

Warum die (von mir rot markierte) 2, wie hast du die ermittelt?
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern & Bild berechnen + Untervektorraum
Irgendwie verwirren mich Beispiele, bei denen die Abbildungsmatrix mehr Zeilen als Spalten haben. Ich glaub ich habe einiges durcheinander geworfen. Kann es sein, dass nur für Endomorphismen gilt, dass eine Abbildung genau dann injektiv ist, wenn sie surjektiv ist?

Ich hab beim Dimensionssatz an den Bildraum gedacht. Aber jetzt wo du es hinterfragst, handelt es sich um die Urbildmenge und damit stimmt alles, oder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern & Bild berechnen + Untervektorraum
Zitat:
Original von MasterWizz
Ich hab beim Dimensionssatz an den Bildraum gedacht. Aber jetzt wo du es hinterfragst, handelt es sich um die Urbildmenge und damit stimmt alles, oder?

Diesen Denkfehler hatte ich irgendwie schon vermutet. Gut, dass du selbst herausgefunden hast, wo der Fehler lag. smile

Zitat:
Original von MasterWizz
Kann es sein, dass nur für Endomorphismen gilt, dass eine Abbildung genau dann injektiv ist, wenn sie surjektiv ist?

Geh mal lieber ein bisschen weg von dem "Endomorphismus". Wie ich oben schon sagte, das heißt erstmal nur, dass ist. Daraus kann alles mögliche folgen oder nicht folgen. Darum geht es hier gar nicht.

Der Punkt ist, und ich glaube, das ist das, was du meintest: Wenn wir eine lineare Abbildung gegeben haben und es ist , also beide Vektorräume sind von gleicher (endlicher) Dimension, dann gilt in der Tat, dass genau dann injektiv ist, wenn surjektiv ist. Das ist natürlich zwangsläufig immer der Fall, wenn ist. Letzteres ist aber nicht zwingend erforderlich!

Das alles folgt natürlich unmittelbar aus dem hier bereits diskutierten Dimensionssatz.
 
 
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern & Bild berechnen + Untervektorraum
Alles klar, ich hab verstanden, vielen Dank für deine ausführliche Hilfe!! smile
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