Differentialgleichung umschreiben

08.03.2020, 15:28	Tiger72	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung umschreiben Meine Frage: Hallo! Mir ist nicht ganz klar wie die Angabe zu verstehen bzw. zu lösen ist - stehe auf der Leitung. Angabe: Schreiben Sie die folgende Differentialgleichung in eine einzige gewöhnliche Differentialgleichung für I(t) um. [attach]50740[/attach] Meine Ideen: Als Ergebnis soll nach Substitution von I(t)=:1/(y(t) folgendes rauskommen: [attach]50741[/attach]
08.03.2020, 16:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir scheint dies aus der Physik zu kommen. Ich kann dir nur Hinweise zum mathematischen Teil geben. Ob es noch Nebenbedingungen physikalischer Art gibt, entzieht sich meiner Kenntnis. Es fällt ja, wenn man die rechten Seiten vergleicht, sofort auf, daß $\begin{align} S'(t) \end{align}$ und $\begin{align} I'(t) \end{align}$ sich nur im Vorzeichen unterscheiden: $\begin{align} S'(t) = -I'(t) \end{align}$ . Es muß daher eine Konstante $\begin{align} \alpha \end{align}$ geben mit $\begin{align} S(t) = \alpha - I(t) \end{align}$ In der zweiten Gleichung kann man damit $\begin{align} S(t) \end{align}$ eliminieren: $\begin{align} \text{()} \ \ I'(t) = \beta \cdot \frac{I(t) \left( \alpha - I(t) \right)}{N} - \gamma \, I(t) \end{align}$ Und jetzt die vorgeschlagene Substitution: $\begin{align} I(t) = \frac{1}{y(t)} \, , \ \ I'(t) = - \frac{y'(t)}{\left( y(t) \right)^2} \end{align}$ Und jetzt diese beiden in $\begin{align} \text{()} \end{align}$ einsetzen und vereinfachen. Ich erhalte damit: $\begin{align} y' = \frac{\beta}{N} - \frac{\left( \alpha \beta - \gamma N \right) \cdot y}{N} \end{align}$ Das ist nicht ganz das Gewünschte. Würde man allerdings $\begin{align} I(t) = \frac{N}{y(t)} \end{align}$ substituieren, bekäme man $\begin{align} y' = \beta - \left( \frac{\alpha \beta}{N} - \gamma \right) y \end{align}$ Das ist zumindest dann, wenn man $\begin{align} \alpha = N^2 \end{align}$ nimmt, die Zielgleichung. Mehr kann ich aus mathematischer Sicht nicht beitragen.
09.03.2020, 19:57	tiger-72	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe! Es hat sich herausgestellt, dass die vorgegebene Lösung falsch war, dementsprechend Ihre stimmt. Schönen Abend

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