Kann ich einen Normalenvektor kürzen/vereinfachen?

17.03.2020, 17:11	JulimachtSommer	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich einen Normalenvektor kürzen/vereinfachen? Meine Frage: Ich habe ein Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren einer Ebene (-4/6/0) und (-4/-6/3) gebildet, mit dem Ergebnis: (18/12/48). Dies stellt ja nun den Normalenvektor der Ebene dar. Mir ist dabei aufgefallen dass dich alle Werte dieses Vektor durch 6 teilen lassen... Meine Ideen: Kann ich nun zur Vereinfachung mit (3/2/8) weiter rechnen?
17.03.2020, 17:48	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann ich einen Normalenvektor kürzen/vereinfachen? ja
17.03.2020, 18:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wäre vorsichtiger als Werner und würde sagen: 's kommt drauf an. Häufiger Schülerfehler: $\begin{align} \begin{pmatrix} 18 \\ 12 \\ 48 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \end{align}$ Dagegen so: $\begin{align} \begin{pmatrix} 18 \\ 12 \\ 48 \end{pmatrix} = 6 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \end{align}$ ABSOLUT RICHTIG Beim Ansetzen einer Normalengleichung für die Ebene kannst du den gekürzten Vektor nehmen. Wenn du danach mit dieser Darstellung weiterarbeitest, darfst du den Vektor von da ab nicht mehr ändern. Du kannst übrigens auch vorher schon die Richtungsvektoren kürzen. Ich zeige dir einmal, wie man das richtig aufschreibt. Die Aufgabe soll heißen: Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene durch die Punkte $\begin{align} A=(1,2,-1), \, B=(-3,8,-1), \, C=(-3,-4,2) \end{align}$ . 1. Richtungsvektoren bestimmen $\begin{align} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align}$ Wähle als Richtungsvektoren $\begin{align} \vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{v} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align}$ 2. Normalenvektor bestimmen $\begin{align} \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ 24 \end{pmatrix} \end{align}$ Wähle als Normalenvektor $\begin{align} \vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \end{align}$ 3. Koordinatengleichung aufstellen $\begin{align} \vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{a} \end{align}$ $\begin{align} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align}$ $\begin{align} 3x_1 + 2x_2 + 8x_3 = -1 \end{align}$

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