Finde obere Dreiecksmatrix, sodass T^t*T = G

29.03.2020, 19:13

Jan Schneider

Finde obere Dreiecksmatrix, sodass T^t*T = G

Hallo und guten Abend,

ich habe ein Problem mit der im Titel genannten Aufgabenstellung. Gegeben sei eine symmetrische Matrix A>0 zu welcher ich eine Matrix T (Element GL(IR)) bestimmen soll, sodass T transponiert mal T = A. Wie stelle ich das an? Ich habe im Skript etwas dazu nachgelesen, komme mit dem Verfahren aber nicht klar. Dort wird das Gram-Schmidt'sche Orthonormalisierungsverfahren über eine Bilinearform angewendet bei welcher man zwei Vektoren x und y an die Matrix mulitpliziert; es steht nur nirgendwo wo man x und y her nehmen soll.

Könnte mir daher jemand bei dem Algorithmus auf die Sprünge helfen?

30.03.2020, 08:18

Elvis

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x und y sind vermutlich variable Vektoren. Wenn du dein Skript zur Verfügung stellst, wissen wir mehr.

30.03.2020, 12:11

Jan Schneider

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Das Kapitel des Skripts bezieht sich auf Bilinearformen, explizit auf das Gram-Schmidt-Verfahren und in diesem Punkt auf symmetrische reelle Matrizen und Kriterien zum Zeigen von positiver Definitheit (Hauptminorenkriterium).

Im Anschluss folgt: Wie findet man zu G>0 ein T (obere Dreiecksmatrix) mit T^t*T=G?

Antwort: Das G-S-Verfahren liefert eine ONB des IR^n bzgl Bilinearform $\begin{eqnarray*} \gamma(x,y)=x^TGy \end{eqnarray*}$ T ist dann die Transformationsmatrix von der Standardbasis zur ONB.

Beispiele habe ich leider keine, sonst hätte ich mir noch irgendwie selbst helfen können. In einer Aufgabe habe ich auch wirklich nur eine Matrix gegeben, zu der ich das T bestimmen soll.

In einer Definition wird noch gesagt, dass eine symm. reelle Matrix positiv definit ist, wenn die zugehörige Bilinearform (die welche ich angegeben habe) positiv definit ist. Oder man geht halt über das Hauptminorenkriterium (das habe ich auch verstanden).

10.04.2020, 16:07

Jan Schneider

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Kommt das jemandem hier eventuell bekannt vor? Ich weiß leider nicht wie man dieses Vorgehen nennt; ich habe daneben Hauptachsentransformationen von symmetrischen Matrizen, Diagonalisierung und Trigonalisierung gemacht - weiß hier aber einfach nicht wo das hingehört und was ich tun muss.

10.04.2020, 20:42

Leopold

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Ich habe es einmal ausprobiert. Mittels der oberen Dreiecksmatrix

$\begin{align*} U = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

habe ich die symmetrische positiv definite Matrix

$\begin{align*} G = U^{\top} U = \begin{pmatrix} 4 & -2 & -4 \\ -2 & 10 & -1 \\ -4 & -1 & 6 \end{pmatrix} \end{align*}$

definiert. Jetzt vergessen wir die Entstehung von $\begin{align*} G \end{align*}$ und definieren das Skalarprodukt

$\begin{align*} \gamma(x,y) = x^{\top} G y \end{align*}$

Hierbei sind $\begin{align*} x,y \end{align*}$ Spaltenvektoren des $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ . Dann beginnen wir mit der Standardbasis

$\begin{align*} v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

Daraus habe ich nach Gram-Schmidt eine Orthonormalbasis erstellt:

$\begin{align*} w_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ w_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ w_3 = \begin{pmatrix} \frac{7}{6} \\ \frac{1}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

Jetzt die Basiswechselmatrix:

$\begin{align*} T = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{7}{6} \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

Das ist jetzt zwar nicht das $\begin{align*} U \end{align*}$ , mit dem wir angefangen haben, aber es gilt ebenfalls

$\begin{align*} T^{\top} T = G \end{align*}$

Die Rechnungen habe ich mit freundlicher Unterstützung eines CAS durchgeführt. Rechne es nach.

11.04.2020, 12:55

Jan Schneider

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Das ist schonmal äußerst hilfreich, vielen Dank für die Mühe. Ich probiere das gleich mal aus!

11.04.2020, 13:13

Jan Schneider

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Ich bekomme das soweit hin; in einer Klausuraufgabe hatten wir dafür aber eine andere Bilinearform gegeben, aber auch eine andere Basis als die Standardbasis; wie kommt die gegebene (Bilf) hier zustande und braucht man die immer in genau dieser Form? Ich bitte ggf dumme Fragen zu entschuldigen, mich verwirrt nur dass in einer anderen Aufgabe eine andere Bilf genommen wurde. In einer Vorbereitungsaufgabe habe ich dann z.B. wieder keine spezifische (und keine Basis) gegeben - hier würde ich zur Standardbasis greifen; nehme ich dann wieder die hier definierte Bilinearform?

(Entschuldigung für Doppelpost, kann nicht mehr editieren).

11.04.2020, 14:00

Leopold

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Ich verstehe dein Problem nicht.

Zitat:

Original von Jan Schneider
Ich bekomme das soweit hin; … wie kommt die gegebene (Bilf) hier zustande und braucht man die immer in genau dieser Form?

Für mich widerspricht sich das. Bekommst du es jetzt hin oder nicht?

11.04.2020, 14:19

Jan Schneider

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Wenn ich das nachrechne klappt das, ja. Auch in der Übungsaufgabe. Der Knackpunkt ist, dass die Übungsaufgabe sich mit deiner deckt und analog dazu funktioniert. Ich habe keine spezifische Basis gegeben und keine Bilf, also nehme ich Standardbasis und die definierte Bilinearform mit x^T*G*y.

In einer Klausuraufgabe wurde aber eine spezifische Basis und eine andere Bilinearform vorgegeben, mit denen man das dann gerechnet hat.

Ich versuche nur zu verstehen wieso man je nach Aufgabe andere Bilinearformen verwendet, oder ob ich das richtig verstanden habe. Dazu wüsste ich gerne wie die oben angegebene Bilinearform zustande kommt.

EDIT: Ich glaube habs geschnallt. In der Klausur bestand die Basis aus Matrizen und das Skalarprodukt aus der Spur der Matrixprodukte, was man scheinbar Frobenius-Skalarprodukt nennt. Ist also analog hierzu, wenn ich das richtig verstehe.

11.04.2020, 14:29

Leopold

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Wenn $\begin{align*} G \end{align*}$ eine $\begin{align*} n \end{align*}$ -reihige symmetrische positiv definite Matrix ist, kann man für $\begin{align*} x,y \in \mathbb{R}^n \end{align*}$ ein Skalarprodukt definieren, und zwar, wenn $\begin{align*} x,y \end{align*}$ als Spalten geschrieben werden, durch

$\begin{align*} (x,y) \mapsto x^{\top} G y \end{align*}$

Ist nun $\begin{align*} w_1,w_2,\ldots,w_n \end{align*}$ eine Orthonormalbasis bezüglich dieses Skalarprodukts, so heißt das für $\begin{align*} 1 \leq i,j \leq n \end{align*}$ mit $\begin{align*} \delta_{ij} \end{align*}$ als dem Kronecker-Delta gerade

$\begin{align*} {w_i}^{\top} G w_j = \delta_{ij} \end{align*}$

Wenn man die Spalten zu einer Matrix zusammensetzt:

$\begin{align*} W = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & \ldots & w_n \end{pmatrix} \end{align*}$

kann man, mit $\begin{align*} E \end{align*}$ als Einheitsmatrix, die $\begin{align*} n^2 \end{align*}$ Gleichungen auch als eine einzige Matrix-Gleichung schreiben:

$\begin{align*} W^{\top} G W = E \end{align*}$

Das ist inhaltlich dasselbe wie die $\begin{align*} n^2 \end{align*}$ Gleichungen oben. Von links und rechts mit den inversen Matrizen multipliziert, erhält man

$\begin{align*} G = \left( W^{\top} \right)^{-1} W^{-1} = \left( W^{-1} \right)^{\top} W^{-1} \end{align*}$

Setzt man daher $\begin{align*} T = W^{-1} \end{align*}$ , so gilt

$\begin{align*} G = T^{\top} T \end{align*}$

Das Ganze funktioniert so weit mit jeder Orthonormalbasis $\begin{align*} w_1,w_2,\ldots,w_n \end{align*}$ . Was an dieser Aufgabe interessant ist, daß man offenbar $\begin{align*} T \end{align*}$ als obere Dreiecksmatrix wählen kann. Und das schafft man, indem man die Orthonormalbasis aus der Standardbasis des $\begin{align*} \mathbb{R}^n \end{align*}$ mit dem Gram-Schmidt-Verfahren erzeugt. Denn dann wird $\begin{align*} W \end{align*}$ zu einer oberen Dreiecksmatrix, wie sich aus dem Verfahren unmittelbar ergibt. Das durchgerechnete Beispiel zeigt das sehr schön.

11.04.2020, 14:39

Jan Schneider

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Alles klar, das hilft mir wirklich weiter. Vielen Dank! Freude

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