Jordansche Normalform einer Matrix bestimmen

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Kuba1365 Auf diesen Beitrag antworten »
Jordansche Normalform einer Matrix bestimmen
Meine Frage:
Hallo,
Ich soll die Jordansche Normalform über die komplexen Zahlen der folgenden Matrix bestimmen:


Dazu habe ich zuerst das charakteristische Polynom bestimmt und bin auf folgendes gekommen:


Also auf die EW i und -i





Meine Ideen:
Dazu habe ich zuerst das charakteristische Polynom bestimmt und bin auf folgendes gekommen:


Also auf die Eigenwerte i und -i

Aber ab jetzt habe ich ziemliche Schwierigkeiten.
Eine Zwischenfrage: Kommt es darauf an in welcher Reihenfolge ich die EW nehme? Und wenn ja, wovon ist das abhängig?

Ich bin also auf die folgende Matrix gekommen, aber weiss nicht wie ich die Einträge auf der Nebendiagonale bestimmen kann.



Soweit ich es verstanden habe entspricht die algebraische Vielfachheit der Länge eines Jordanblockes.

Also sieht die Matrix so aus? Oder darf man das nicht daraus schliessen?


Im Beweis wurde ebenfalls die geometrische Vielfachheit verwendet. Muss ich um die Einträge der Nebendiagonale zu bestimmen zuerst noch die Dimension der Eigenräume bestimmen? Und wenn ja, was genau bedeutet das? Ich weiss dass die geometrische Vielfachheit entweder 1 oder 2 ist - aber was genau kann ich mit der Information anfangen sobald ich sie genauer bestimmt habe?

Vielen, vielen Dank für eure Hilfe!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordansche Normalform einer Matrix bestimmen
Zitat:
Original von Kuba1365
Soweit ich es verstanden habe entspricht die algebraische Vielfachheit der Länge eines Jordanblockes.

Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts entspricht der Länge aller Jordanblöcke zu diesem Eigenwert. Somit stimmen schon mal die Einträge auf der Hauptdiagonalen. Was du jetzt brauchst, ist die jeweilige geometrische Vielfachheit. Das ist die Dimension der jeweiligen Eigenräume. Diese gibt an, wieviel Jordanblöcke zu einem Eigenwert benötigt werden.
Kuba1366 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordansche Normalform einer Matrix bestimmen
Ok super, danke. smile
Aber was genau bringt mir denn dann die geometrische Vielfachheit? Das ist eben genau der Teil den ich nicht verstehe...? verwirrt
Kuba1366 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das war jetzt etwas ungeschickt formuliert. Was ich meinte ist mehr: Es kann doch gar nicht mehr wie 1 Jordanblock geben - ansonsten wäre meine Matrix doch zu gross. Und wenn ich die Anzahl Jordanblöcke habe, was genau bedeutet das dann für meine Nebendiagonale? Tut mir leid, ich habe das Thema wirklich nicht verstanden… unglücklich
Kuba1366 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ich habe es verstanden... bin wohl irgendwie wirklich auf dem Schlauch gestanden smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordansche Normalform einer Matrix bestimmen
Aufgrund der beiden Eigenwerte mit jeweils algebraischer Vielfachheit. 2, hast du diese vier Möglichkeiten:

--> ergibt 4 Jordan-Blöcke

oder

--> ergibt 3 Jordan-Blöcke

oder

--> ergibt 3 Jordan-Blöcke

oder

--> ergibt 2 Jordan-Blöcke

Wie gesagt: du brauchst die geometrische Vielfachheit, welche sich aus der Dimension der Eigenräume ergibt.

Zitat:
Original von Kuba1366
Oh ich habe es verstanden... bin wohl irgendwie wirklich auf dem Schlauch gestanden smile

Ah, ok, ich lasse meinen Post trotzdem mal stehen.
 
 
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