Beweisen der Ungleichung: Summe 1/k^2 > 2 - 1/n

03.04.2020, 15:28	RangerRavioli	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisen der Ungleichung: Summe 1/k^2 > 2 - 1/n Meine Frage: Hey Leute! Ich sitze schon ne weile an der Folgenden Aufgabe, ohne Erfolg: Für welche $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt die Ungleichung $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} 1/(k^2) > 2 - 1/n \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Ich habe schon überlegt das mit Grenzwertverhalten zu machen, aber das trifft keine Aussage über irgendwelche n zwischen 0 und unendlich. Ich bin leider vollkomen ratlos... (P.S.: Ich hoffe der LaTeX Code funktioniert!)
03.04.2020, 15:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätze ab: $\begin{align} \frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} \, , \ k \geq 2 \end{align}$ , und führe eine Partialbruchzerlegung durch.
04.04.2020, 11:09	RangerRavioli	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das hat funktioniert! $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} 1/(k^2) \geq \sum\limits_{k=1}^{n} 1/k(k-1) = 1 + \sum\limits_{k=1}^{n} (1/k - 1/(k+1)) = 2 - 1/(n+1) > 2 - 1/n \end{eqnarray}$ Somit stimmt die Ungleichung für keine $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$
04.04.2020, 12:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie bist du mit der Vergleichsrichtung und mit der Indexverschiebung verrutscht. So geht es richtig: Für $\begin{align} n=1 \end{align}$ haben die Summe und $\begin{align} 2 - \frac{1}{n} \end{align}$ denselben Wert, und für $\begin{align} n \geq 2 \end{align}$ gilt: $\begin{align} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} < 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)} \end{align}$ $\begin{align} = 1 + \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) = 1 + 1 - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n} \end{align}$ Und bitte denke an Klammern, wenn du von der vertikalen in die horizontale Bruchschreibweise wechselst: $\begin{align} \frac{1}{k(k-1)} \color{red} = 1/k(k-1) \end{align}$ $\begin{align} \frac{1}{k(k-1)} \color{green} = 1/ \left( k(k-1) \right) \end{align}$ ist richtig.
04.04.2020, 12:05	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold: Sehr elegante Lösung

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