Erzeugendensystem und Basis

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tyger Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem und Basis
Hallo,
bei dem folgenden Beweis kann ich die Widersprüche nicht sehen bzw. verstehen.
Könnte mir bitte jemand sagen,was da wem widerspricht ?

Satz :

Sei , ein abzählbare Erzeugendensystem des K-Vektorraumes V.
Dann enthält dieses eine Basis von V.

Beweis: Wir können annehmen.
Sei J:=.
Dann ist eine Basis von V.
1) Diese Vektoren erzeugen V:
Nehmen wir an, der von erzeugte Unterraum enthielte einen der Vektoren nicht.
Dann wählen wir ein minimales mit dieser Eigenschaft.
Es ist .Also .
Widerspruch! (Worin besteht der Widerspruch ? Was widerspricht wem ?)

Ich wäre sehr dankbar,wenn man das verständlich machen könnte.

2) Die sind auch linear unabhängig.
Ist mit wenigstem einem so sei maximal mit dieser Eigenschaft.
Dann ist und somit .Widerspruch ! (Auch hier die Frage worin der Widerspruch genau besteht.)
Havelaar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem und Basis
1) Es wird eine Menge J definiert und angenommen, dass die Vektoren mit kein Erzeugendensystem sind. In dem Fall gibt es Vektoren, die nicht als Linearkombination der darstellbar sind. Von diesen nicht darstellbaren Vektoren wird der mit dem kleinsten Index gewählt. Dieser Index wird genannt. Da nicht als Linearkombination der darstellbar ist, kann nicht in sein, d.h. .
Nun schau dir die Definition von J an. Die besagt, dass alle Vektoren, die nicht von den mit kleinerem Index dargestellt werden können, selbst unter die aufgenommen werden. Also muss gelten. Es kann aber nicht gleichzeitig und gelten. Hier ist der Widerspruch.

2) ist ähnlich. Kannst du das nun selbst nachvollziehen?
Havelaar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem und Basis
tyger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem und Basis
Hallo Havelaar,

vielen Dank für deine Antwort ! Ich bin sehr verwirrt und hoffe, dass man mir noch mal weiterhelfen kann.
Ich verstehe das so:

J enthält die Indizes der Vektoren, die nicht als Linearkombination der dargestellt werden können.
D.H: .

Also ist .
Aber Havelaar behauptet das Gegenteil.
Was stimmt jetzt ?
Ich kann einfach nicht verstehen, wie aus all dem folgen kann.
Verstehe ich überhaupt J richtig ? Ich weiß einfach nicht nicht weiter..
An die lineare Unabhängigkeit wage ich mich erst, wenn ich diesen erste Teil verstanden habe.
Nochmals danke !
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