Logarithmus

04.05.2020, 08:12

dohx

Logarithmus

Hey,

ich brauch hier bei mal eure Hilfe:

x^2 * log2(x) = 0, ich würde gerne nach x auflösen bekomm es aber einfach nicht hin. Ich habe ein Problem mit dem x^2 vor dem Logarithmus und bin mir nicht sicher welches Gesetz mir da helfen kann. Vielen Dank schon mal im Voraus!

04.05.2020, 08:20

HAL 9000

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Das "Gesetz", das hilft:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der beteiligten Faktoren gleich Null ist.

04.05.2020, 08:31

dohx

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Okay, vielleicht genügt das nicht so ganz für die Aufgabe die ich lösen möchte. Was ist wenn:

x^2 * log2(x) <= y, ich möchte für y eine "Grenze" festlegen die nicht überschritten werden darf. Und möchte für diese Grenze mein x finden.

04.05.2020, 10:26

Steffen Bühler

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Das geht leider nur über Näherungsverfahren.

Viele Grüße
Steffen

04.05.2020, 10:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von dohx
x^2 * log2(x) <= y, ich möchte für y eine "Grenze" festlegen die nicht überschritten werden darf. Und möchte für diese Grenze mein x finden.

Das ist ja auch nicht mehr das Originalproblem von oben: Du sprachst ursprünglich nur von der Nullstelle! Insofern solltest du dich auch nicht wundern bzw. beschweren, dass die Lösung in einem ausgesprochen einfachen Spezialfall nicht auf das allgemeinere Problem (von dem im Eröffnungsbeitrag KEINE Rede war) passt. unglücklich

Soweit ich dich verstehe, möchtest du zunächst den Wertebereich der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\log_2(x) \end{eqnarray*}$ ergründen. Der ist nach oben wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt, nach unten aber sehr wohl: Das kannst du durch eine Bestimmung der lokalen Extrema dieser Funktion genau bestimmen.

Hast du das getan, kannst du dich der Gleichungslösung $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ widmen. Sofern du ein CAS zur Verfügung hast, kannst du per Substitution $\begin{eqnarray*} u=2\ln(x) \end{eqnarray*}$ und damit dann $\begin{eqnarray*} ue^u=2\ln(2)y \end{eqnarray*}$ zur Lösung $\begin{eqnarray*} u=W_k(2\ln(2)y) \end{eqnarray*}$ bzw. rücksubstitutiert $\begin{eqnarray*} x = \exp\left( \frac{1}{2} W_k(2\ln(2)y) \right) \end{eqnarray*}$ gelangen (dabei ist $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ ein Zweig der sog. LambertW-Funktion). Aber wie gesagt nur für die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus dem oben zu ermittelnden Wertebereich der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

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