Äquivalenzrelation, m teilt eine Zahl

05.05.2020, 16:14	PeMep	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation, m teilt eine Zahl Hallo liebes Matheboard, Ich habe folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , m > 1. Gegeben ist eine Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen die besagt, dass $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} y <-> m\|(x-y) \end{eqnarray}$ . Also dies bedeutet, wenn die Differenz von x und y durch m ohne Rest teilbar ist. Mein Aufgabe lautet wie folgt: Zeigen Sie: Falls gilt: $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_{1} \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} y_{2} \end{eqnarray}$ , dann gilt auch: $\begin{eqnarray} x_{1} + y_{1} \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} x_{2} + y_{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{1} y_{1} \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} x_{2} * y_{2} \end{eqnarray}$ x,y sind hier Elemente der ganzen Zahlen. ------------------------------------------------------------------- Folgenden Ansatz habe ich mir für die Addition überlegt: Gegeben ist $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ , sprich die Differenz $\begin{eqnarray} (x_{1}-x_{2}) \end{eqnarray}$ ist ein Vielfaches von m (auch 0), richtig? Dann könnte ich mir doch definieren, dass $\begin{eqnarray} (x_{1}-x_{2}) := am \end{eqnarray}$ (wobei a eine ganze Zahl ist) Ebenso für $\begin{eqnarray} (y_{1} - y_{2}) := bm \end{eqnarray}$ . Setzt man nun die Definition ein, soll man ja zeigen das folgendes gilt: $\begin{eqnarray} ((x_{1}+y_{1})-(x_{2}+y_{2})) \end{eqnarray}$ ist durch m teilbar. Nun kann man es umstellen: $\begin{eqnarray} ((x_{1}+y_{1})-(x_{2}+y_{2})) = (x_{1}-x_{2} + y_{1}-y_{2}) = (am + bm) = (m * (a+b)) \end{eqnarray}$ und mein a+b kann ich mir als ein c aus den ganzen Zahlen definieren. Somit ist $\begin{eqnarray} x_{1} + y_{1} \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} x_{2} + y_{2} \end{eqnarray*}$ . Nun wollte ich a) Fragen ob dieser Ansatz richtig ist und b) Ob jemand eine Idee für die Multiplikation hat, da ich dort leider keinen guten Ansatz gefunden habe bisher. Ich wäre dankbar für jegliche Art von Hilfe! Mfg P
05.05.2020, 16:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Ansatz ist richtig. (Was du hier tust, ist übrigens der Nachweis der Modulo-Rechenregeln) Bei der Multiplikation kannst du doch ähnlich ansetzen: $\begin{eqnarray} x_1 = x_2+am \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_1 = y_2 + bm \end{eqnarray}$ , und dann einsetzen $\begin{eqnarray} x_1\cdot y_1 = \ldots \end{eqnarray}$ , d.h. ausmultiplizieren.
05.05.2020, 16:40	PeMep	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Wow! Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe das auch zuerst versucht aber manchmal werfe ich einen Gedanken zu schnell weg, da ich immer denke ich würde irgendetwas "falsch" oder "verbotenes" machen (was natürlich in diesem Fall eher ist aber naja :P ) Wäre es also legitim zu sagen, $\begin{eqnarray} ((x_{2}y_{2} + x_{2}bm + y_{2}am + ambm) - (x_{2}y_{2})) = x_{2}bm + y_{2}am +ambm = m(x_{2}b + y_{2}a + ab) \end{eqnarray}$ wobei das Ergebnis innerhalb der Klammer wieder ein c ist, und m mal eine Zahl immer ein vielfaches von sich ergibt? Ist das die Lösung?
05.05.2020, 17:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so einfach ist das.

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