Äquivalenzrelationen in Abhängigkeit von Variablen

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PeMep Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelationen in Abhängigkeit von Variablen
Hallo,

Ja, es geht schon wieder um Äquivalenzrelationen (das letzte mal, versprochen), das Thema verfolgt mich gerade ein wenig Forum Kloppe
Ich versuche mich kurz zu halten.

Aufgabe:
Seien beliebig. Nun soll man die Menge in betrachten, welche durch die folgende Gleichung gegeben ist:



Man soll sagen, unter welchen Vorraussetzungen an a, b, c diese Menge der Graph einer Äquivalenzrelation auf ist. Zusätzlich soll man sagen wie viele man von solchen Äquivalenzrelationen denn auf diese Art und Weise finden kann.

------------------------------------------
Mein Ansatz:

Die Menge(n) hat(Haben) ja folgende Form:

Für jede Kombination von a,b,c gibt es ja so eine Menge. Wenn ich es richtig verstanden habe, soll man Eigenschaften für a,b und c finden, so dass die Menge an Tupeln eine Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen bildet. Das heißt man muss die Parameter so wählen, dass alle Elemente innerhalb der enstandenen Menge
1. Reflexiv,
2.Symmetrisch,
3.Transitiv sind.

Meine erste Idee, mein erster kleiner Schritt war zu sagen:

Wenn a = -b oder b = -a, und in beiden fällen c = 0 ist, erhält man die Gleichheitsrelation auf .
Überhaupt, stimmt meine Aussage schon einmal?

Lg,

P
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann nie wissen, was passiert, bevor man es ausprobiert hat.

(r) Für alle ganzen x : ax+bx+c=0
(s) x,y ganz, ax+by+c=0, dann ist ay+bx+c=0
(t) x,y,z ganz, ax+by+c=0 und ay+bz+c=0, dann ist ax+bz+c=0

aus (r) und x=0 bekommt man schon eine wesentliche Vereinfachung, und dann muss man weiter sehen, was passiert ...
PeMep Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichungen in genau dieser Form hatte ich schon bei mir stehen. Was mich verwirrt ist folgendes:

Wenn ich jetzt meine Menge habe {.....}, egal wie genau jetzt die Tupel darinn aussehen und was a,b und c jetzt genau sind. Dann müssen doch, sollte z.B. (1,2) als Tupel enthalten sein dadruch das man den Graphen einer Äquivalenzrelation haben möchte, automatisch:

(2,1), (1,1), (2,2) genau so in der Menge enthalten sein, oder nicht? Damit es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.

Und die Reflexivität kann ich mir eben nicht anders erklären, außer das a = -b oder b = -a sein muss mit c = 0 (ohne das a,b,c abhängig von x sind). Aber dadurch kann kein Tupel x,y eine andere Eigenschaft erfüllen oder?

Oder habe ich einfach das wesentliche Konzept der Aufgabe komplett verfehlt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist ganz nahe an der Lösung. Aus (r) folgt b=-a und c=0. Und daraus folgt (s) und (t), das musst du nur noch zeigen. Deshalb habe ich geschrieben, "und dann muss man weiter sehen, was passiert ..." Augenzwinkern
PeMep Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen b = -a, c = 0.

(r)


(s) Angenommen es ist dann , dann gilt
| * (-1)


(t) Aus und folgt:



So in etwa?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So etwa. Inhaltlich ist es richtig und verständlich.
Statt Gleichungen untereinander zu schreiben, schreibt man besser .
Bei (r) ist wichtig, zu schreiben. Bei (s) und (t) kann man das nicht verlangen, braucht man auch nicht.
 
 
PeMep Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank Freude

Nicht nur für die sondern für alle Antworten auf nicht nur die sondern alle Fragen!!!

Ja das "für alle x" etc. macht Sinn, dies ist ja gerade die Definition der Reflexivität. Ich bin wenigstens froh das ich die Aufgabe mittlerweile besser verstehe.

Die Antwort an sich müsste ja unendlich sein, oder nicht? Man findet nämlich unendlich solcher Äquivalenzrelationen. Es gilt zwar b = -a c = 0, jedoch ist a ja beliebig aus den reellen Zahlen, also gilt es genau so für a = 1,2,3... oder?

Ein letzter Zusatz wäre die Frage, ob sich diese Menge an Äquivalenzrelationen vergröbern oder verfeinern ließe, aber das ist eine andere Sache der ich selber auf den Grund gehen werde. (Ich lehne natürlich keinen Hinweis darüber ab, aber ich bin schon wirklich mehr als dankbar für all die Unterstützung hier in diesem Forum und möchte nicht den Anschein erwecken, dass ich lediglich jemanden suche der meine Aufgaben erledigt Lesen1 )

Damit, vielen dank und lg!

P
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp. Unterscheide die Fälle und . Die Antwort ist in beiden Fällen trivial.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PeMep
Die Antwort an sich müsste ja unendlich sein, oder nicht? Man findet nämlich unendlich solcher Äquivalenzrelationen. Es gilt zwar b = -a c = 0, jedoch ist a ja beliebig aus den reellen Zahlen, also gilt es genau so für a = 1,2,3... oder?


Das ist aber immer dieselbe Äquivalenzrelation. Ich bin da eher geometrisch herangegangen.

Die Gleichung stellt doch, außer im Fall , in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem eine Gerade dar. Der Sonderfall zuerst:

Mit folgt aus auch . Die Gleichung wird aber von jedem Paar erfüllt. Das ist die Massenparty-Äquivalenzrelation: Jedes ist mit jedem äquivalent. Alle ganzen Zahlen feiern eine große Party. Es gibt nur eine einzige Äquivalenzklasse: selber.

Im andern Fall ist . Da für eine Äquivalenzrelation die Reflexivität gefordert wird, muss die gesuchte Gerade durch alle Punkte gehen. Es gibt aber nur eine Gerade, die das tut: . In der Normalform heißt das und . Wie gefordert ist nun jedes mit sich selbst äquivalent, aber auch nur mit sich selbst (auf der Geraden gibt es keine Punkte mit ). Damit ist das die Eremiten-Äquivalenzrelation. Jeder ist mit sich selbst zufrieden. Die Äquivalenzklassen sind einelementig.

Beide Äquivalenzrelationen sind trivial - und irgendwie unheimlich. Bei der Massenparty, ich kann mir nicht helfen, ist mir die Duisburger Loveparade eingefallen, vielleicht, weil die Sache juristisch gerade vor wenigen Tagen mit einem Nichturteil zu Ende ging.
PeMep Auf diesen Beitrag antworten »

Haha, danke für den hilfreichen und gleichzeitig lustigen Beitrag.

Zu der Erkenntnis bin ich auch schon gekommen! Also der "Massenparty" Big Laugh

Klar, für b = -a sehen alle Äquivalenzrelationen gleich aus und unterscheiden sich nur in dem was a ist. Aber es spielt keine Rolle.

Für a = b = 0 wiederrum ist jeder Äquivalent mit jedem, also wäre die Äquivalenzrelation dargestellt als Tupel (x,y) gerade wieder denke ich. Und die einzige Klasse wie schon beschrieben ist . Da Äquivalenzrelationen ja einen "geschlossenen Verband" führen, ist dies auch gleichzeitig die Gröbste Äquivalenzrelation auf , nämlich eben selber.

Sprich, b = -a verfeinert die bei a = b = 0 erhaltene Äquivalenzrelation und anders herum, ist a = b = 0 eben gröber als die durch b = -a erhaltene.

In anbetracht von anderen Äquivalenzrelationen stellt sich mir noch die Frage wie es dort mit grob/fein aussieht.

1.Wenn meine Vermutung stimmt, das es sich bei a = b = 0 um die Gröbste Äquivalenzrelation auf handelt, ließe sich diese eben sehr wohl auch durch andere Äquivalenzrelationen, also abseits der Gleichung, verfeinern. Aber nicht mehr vergröbern.

2.Meine zweite Vermutung ist, dass die sogenannte "Eremiten-Äquivalenzrelation" ( ;P ) eben die Identität wiederspiegelt und somit schon am feinsten ist, aber noch vergröbert werden kann, da sie ja in jeder anderen Äquivalenzrelation ebenfalls enthalten ist.

Würde mich freuen darauf noch eine Antwort zu erhalten! Spannendes Thema für mich, was danach hoffentlich 100% geklärt ist smile

Lg!

P
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt soweit, und zwischen der gröbsten und der feinsten Äquivalenzrelation auf liegen unendlich viele weitere. Für jedes ist die Kongruenzrelation eine Äquivalenzrelation mit Klassen, wobei jedes Vielfache von eine Verfeinerung darstellt.
Egal wie man die ganzen Zahlen vollständig in disjunkte Teilmengen zerlegt, ordentlich oder chaotisch, zahm oder wild, jede Partition definiert eine Äquivalenzrelation. Das ist eine unüberschaubare Vielfalt von Möglichkeiten - ich blicke jedenfalls nicht durch, da muss jemand kommen, der schlauer ist als ich.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PeMep
2.Meine zweite Vermutung ist, dass die sogenannte "Eremiten-Äquivalenzrelation" ( ;P ) eben die Identität wiederspiegelt und somit schon am feinsten ist, aber noch vergröbert werden kann, da sie ja in jeder anderen Äquivalenzrelation ebenfalls enthalten ist.


Genau, die "Eremiten-Äquivalenzrelation" ist das, was du in deinem ersten Beitrag am Ende als Gleichheitsrelation bezeichnet hast.

Letzten Endes ist das Konzept der Äquivalenzrelationen, daß man bestimmte Objekte, die in einer ursprünglichen Welt noch unterscheidbar sind, nicht mehr unterscheiden will, sie sozusagen "als gleich ansieht". Weil aber "gleich" in der ursprünglichen Welt schon vergeben ist, sagt man halt "äquivalent" ("gleichwertig"). Und bei den Äquivalenzklassen wird das dann zur Gleichheit.
Ich denke hier zum Beispiel an die Brüche. Ein Bruch ist eigentlich ein Zahlenpaar aus Zähler und Nenner. Wenn man aber zum Beispiel schreibt, meint man in der Regel nicht das Zahlenpaar aus 6 und 9 an sich (manchmal aber doch, das muß man aus dem Kontext erschließen), sondern die Äquivalenzklasse, in der das Zahlenpaar aus 6 und 9 liegt, denn sonst dürfte man ja gar nicht schreiben. Diese Gleichheitszeichen sind Gleichheitszeichen, die die Gleichheit der Äquivalenzklassen kennzeichnen, die Zahlenpaare selber sind ja durchaus verschieden. Sie repräsentieren dieselbe Äquivalenzklasse: . Wenn unsere Sechstkläßler wüßten, was für komplizierte Dinge sie da eigentlich lernen. Aber das verraten wir ihnen natürlich nicht. Dieser Schritt in die Bruchrechnung ist meiner Erfahrung nach übrigens der schwierigste im Mathematikunterricht am Gymnasium, keineswegs irrationale Zahlen oder Ableitung oder so etwas. Da pfuscht man sich irgendwie durch. Aber die Bruchrechnung ... Für viele Menschen ist das eine unüberwindliche intellektuelle Hürde. (Klagelied eines Mathematiklehrers)
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