Bijektivität einer Funktion zeigen, Umkehrfunktion bilden

Neue Frage »

Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektivität einer Funktion zeigen, Umkehrfunktion bilden
Hallo Leute, mal wieder eine Frage zur Bijektivität.

Um zu zeigen dass eine Funktion bijektiv ist, muss ich zeigen, dass sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Die Funktion lautet:

Injektiv:





Wie forme ich denn hier weiter um?

Surjektiv:



Das müsste ich doch nun nach auflösen oder? Wüsste nicht wie.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde ja eher mal die Monotonie der Funktion untersuchen sowie das Verhalten für .
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Für : streng monoton steigend,Funktion geht gegen

Für : streng monoton fallend, Funktion geht gegen

Ok, somit also Injektivität gezeigt.

Wie ists mit der Surjektivität?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Über die Monotonie solltest du nochmal nachdenken. Bilde doch mal die erste Ableitung.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh sorry, also streng monoton wachsend generell. Da
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Jap! Damit ist die Funktion bijektiv.
 
 
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie genau geht die Surjektivität aus der Monotonie und dem Verhalten im unendlichen hervor?

Wie bekomme ich die Umkehrfunktionen?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Nun surjektiv heißt doch, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal getroffen wird. Deine Funktion ist stetig und du hast und . Damit ist deine Funktion surjektiv. Damit sie auch injektiv ist, darf kein Element der Zielmenge zweimal getroffen werden. Deine Funktion steigt aber über den gesamten Definitionsbereich streng monoton. Damit ist sie injektiv.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, so formuliert verstehe ich es smile

Könntest du mir noch bei der Umkehrfunktion helfen?
Die Aufgabenstellung lautet:
"Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen der Umkehrfunktionen an den Stellen x=0 und x=2."
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier würde ich implizit differenzieren. Die Ableitung nach bezeichne ich mit einem Punkt, also .

Dann bekommst du aus



wenn du nach differenzierst (Kettenregel beachten):



Jetzt setze hier die -Werte ein, die zu beziehungsweise korrespondieren. Man kann sie aus durch scharfes Hinschauen erraten.
Die erste Ableitung habe ich gerade für dich vorgerechnet. Die zweite Ableitung solltest du jetzt alleine hinbekommen. Noch einmal nach differenzieren.

[attach]51235[/attach]

Das Bild zeigt den Graphen der Umkehrfunktion mit ihren Tangenten, wieder in üblicher Bezeichnung: für die unabhängige, für die abhängige Variable.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke,

also dann:

und


Passt das so?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt nicht. Die erste Gleichung müßte so lauten:



und sind hier nicht egal! Sie korrespondieren über die Funktionsgleichung . Wenn dich das stört, kannst du es durch ersetzen, also



aber durchsichtiger wird es dadurch auch nicht.

Auch die zweite Ableitung ist links falsch notiert. Es muß dort heißen. Und bei der Berechnung stimmt die Potenz im Nenner nicht.

Ich würde übrigens erst gar nicht auflösen. Nirgendwo in der Aufgabe ist das verlangt. Für liefert den Wert . Zur Berechnung von setzt man in



den korrespondierenden Wert ein:



und erhält



Also ist .
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok damit komme ich scheinbar nicht klar.
Eine von y abhängige Funktion ohne y als Variable.
Aber ok.

Für die zweite Ableitung habe ich einfach nach x abgeleitet. Das geht so nicht? Ich müsste dann nach y ableiten oder wie?

Wenn ich deine Variante nutzen wirde müsste ich dann für die zweite Ableitung schreiben

?

Demnach

?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Patrick

Ich würde das mit den ganz bleiben lassen: Nur mit Funktionen in operieren, und den Ableitungen nach , aber dabei immer schön die Kettenregel beachten!

Dazu kürze ich mal ab, dann folgt aus der Eigenschaft der Umkehrfunktion durch Differentation . Mit ergibt das

.

Nun das ganze nochmal ableiten ergibt , eingesetzt und umgestellt



Zur Berechnung der -Ableitungswerte an den Stellen 0 und 2 musst du dir nun passende Argumente mit und suchen, was dir hoffentlich gelingt.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Patrick1990
Wenn ich deine Variante nutzen wirde müsste ich dann für die zweite Ableitung schreiben

?


Ich schiebe das auch mal in die Analysis.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nun
und
.

Meinst du das so?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Mein geschätzter Kollege hat dir doch extra ein schönes Bild gemalt. Mache doch mal die Probe und berechne die Werte der ersten Ableitung damit. Die Steigung der Tangente kannst du doch in Leopolds Bild prima ablesen.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich.
Dennoch werde ich scheinbar aufgrund der Formulierungen noch nicht so ganz schlau daraus.


, was ja scheinbar nicht stimmt.

Was mache ich also falsch?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Lies dir nochmal den Beitrag von HAL durch. Die Argumente sind und . Damit erhältst du also und , was doch wunderbar zu Leopolds Bild passt!
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hatte einen Denkfehler. Habe es gerade gesehen. Ich danke euch smile

Dennoch verwirrt mich die Schreibweise.
Ich soll bspw. ein finden, bei dem . Ok ich finde hier .
Dann soll ich eigentlich in die Funktion einsetzen. Nun habe ich doch aber eigentlich auch und nicht oder?
Wo ist nun mein Denkfehler?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte es so gemacht. Ich will aber gerne einräumen, daß der dauernde Wechsel zwischen Funktion und Funktionswert ein wenig gewöhnungsbedürftig ist. Es ist halt wie bei den Differentialgleichungen, wo man das ja auch so praktiziert. Insofern ist ein Vorgehen, wie HAL es vorschlägt, von der Notation her überzeugender.

Daß die Funktion umkehrbar ist, wurde bereits gezeigt. Von der Umkehrfunktion sollen die Ableitung an der Stelle (dazu gehört ) und (dazu gehört ) ermittelt werden. Zunächst wird



nach differenziert:



Man setzt ein und erhält , also .

Man setzt ein und erhält , also .

Wenn man nochmal ableitet, muß man beim ersten Summanden sowohl die Produkt- als auch die Kettenregel beachten:





In der letzten Gleichung setzt man und (wie gerade berechnet) ein und erhält oder auch (der Graph von zeigt ja an der Stelle 0 auch einen Wendepunkt).

Und dann setzt man und (wie gerade berechnet) ein und erhält oder auch .
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ich hätte es so gemacht. Ich will aber gerne einräumen, daß der dauernde Wechsel zwischen Funktion und Funktionswert ein wenig gewöhnungsbedürftig ist. Es ist halt wie bei den Differentialgleichungen, wo man das ja auch so praktiziert. Insofern ist ein Vorgehen, wie HAL es vorschlägt, von der Notation her überzeugender.

Daß die Funktion umkehrbar ist, wurde bereits gezeigt. Von der Umkehrfunktion sollen die Ableitung an der Stelle (dazu gehört ) und (dazu gehört ) ermittelt werden. Zunächst wird



nach differenziert:



Man setzt ein und erhält , also .

Man setzt ein und erhält , also .

Wenn man nochmal ableitet, muß man beim ersten Summanden sowohl die Produkt- als auch die Kettenregel beachten:





In der letzten Gleichung setzt man und (wie gerade berechnet) ein und erhält oder auch (der Graph von zeigt ja an der Stelle 0 auch einen Wendepunkt).

Und dann setzt man und (wie gerade berechnet) ein und erhält oder auch .


So ist es am verständlichsten. Vielen Dank dafür.
Verwirrend für mich, dass in der Aufgabenstellung steht "an den Stellen x=0 und x=2" und nun aber eigentlich y=0 und y=2 gemeint ist und daraus x=0 und x=1 folgen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei diesem Verfahren sind keine gebundenen Variablen, sondern frei und mittels oder äquivalent aneinander gekoppelt (also doch nicht frei). Letztlich ist es egal, wie man sich festlegt, man könnte es ja auch gerade umgekehrt machen: bzw. . Vielleicht habe ich in meinem ersten Beitrag nicht klar genug beschrieben, welche Variante ich hier nehme.
Bei HALs Notation hat man diese Probleme nicht, weil der Funktionsbezeichner bzw. immer geschrieben wird. Sie ist insofern "korrekter". Dafür finde ich die Formeln dann unansehnlicher und klammerüberladen. Aber das ist wie so oft auch eine Geschmacksfrage.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Patrick1990
Verwirrend für mich, dass in der Aufgabenstellung steht "an den Stellen x=0 und x=2" und nun aber eigentlich y=0 und y=2 gemeint ist und daraus x=0 und x=1 folgen.

Die Funktion steht für sich, d.h., ist nicht an irgendwelche Symbole wie oder gebunden (insofern ist die Aufgabenformulierung auch nicht ganz sauber, sie hätten das "x=" ganz weglassen sollen). Das ist für den Anfänger gewöhnungsbedürftig, da der im Schulunterricht zunächst das feste Schema und damit verbunden kennenlernt, was ja auch verständlich ist, da man erstmal festen Boden unter den Füßen haben muss. Später dann sollte man sich aber davon lösen, da geht es eben einfach um statt um an der Stelle x=2 oder y=2 ...

Kurzum: Sowohl

a) an der Stelle x=2
b) an der Stelle y=2

sind richtige Formulierungen für das Anliegen hier!!! Da wir aber keine direkte Rechenformel für a) oder b) haben, sondern eher sowas wie

c) (statt könnte auch stehen - egal, Symbole sind wie gesagt nicht festgelegt!)

daher müssen wir ein suchen mit , und das ist .

Womöglich habe ich dich jetzt noch mehr verwirrt, aber irgendwann muss mal der Anfang gemacht werden, diese Fixierung auf Symbole wie und zu lösen.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank,

so habe ich es nun auch verstanden. Die Aufgabenstellung hat mich in der Hinsicht halt irritiert.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »