Ableitung von verketteten Funktionen

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AnnaLepanien Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von verketteten Funktionen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

auf meinem Übungsblatt zu Extrema von Funktionen mehrerer Variablen komme ich leider mit einer Aufgabe überhaupt nicht klar.

Sei g:R2->R eine stetig partiell differenzierbare Funktion und sei f:R->R
eine differenzierbare Funktion.
Berechnen Sie die Ableitung der Funktion h:R->R,x->g(x,f(x))


Ich wäre super dankbar um jeden Tipp, wie ich hier weiterkomme.
Danke! :-)


Meine Ideen:
Ich habe bis jetzt schon angefangen, h(x) als Verkettung der beiden Funktionen g und s(s:R->R2,x->(x,f(x)) zu schreiben und dann die Kettenregel für Ableitungen verwendet, also h'(x)=g'(s(x)*s'(x)=g'(x,f(x))*s'(x). Hier komme ich aber nicht weiter.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente des , auf denen wirkt, schreibe ich als , die partiellen Ableitungen nach beziehungsweise seien und . Dann ist



oder ohne Argumente:



Jetzt wird noch eine Funktion vorgeschaltet, die auf wirkt und nach führt. Ihre erste Komponente ist , ihre zweite , ausführlich



Die Ableitung davon:



Und jetzt mußt du bilden, letztlich also den Zeilenvektor für mit dem Spaltenvektor für multiplizieren und in noch durch substituieren.

Beachte, daß man in diesem Kalkül die Komponentenfunktionen als Spalten (wie bei ) schreiben muß, während man die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen nach den einzelnen Variablen in Zeilen schreibt (wie bei ).
AnnaLepanien3 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführliche Antwort! Das hat mir echt geholfen smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du alles hast, mach doch eine Probe an einem einfachen Beispiel. Ein Vorschlag:





Dann leite einerseits direkt ab, andererseits mit der von dir gefundenen Regel.
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