Vereinigungsmenge von Bildmengen zu einem Urbild

25.05.2020, 22:22	TomS	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigungsmenge von Bildmengen zu einem Urbild Ich habe eine formale Frage. Gegeben sei eine Menge S sowie Abbildungen $\begin{eqnarray} \tau_n : S \to T_n \end{eqnarray}$ auf andere Mengen T_n. Nun betrachte ich die Vereinigungsmenge $\begin{eqnarray} T = \bigcup_n T_n \end{eqnarray}$ Ist die Notation $\begin{eqnarray} \tau: S \to T \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \tau = \bigcup_n \tau_n \end{eqnarray}$ gebräuchlich oder sinnvoll? D.h. kann ich in diesem Fall die Abbildungen tau_n von S "ablösen" und die "Vereinigungsmenge über den Abbildungen tau_n" als eigenständiges Objekt betrachten?
25.05.2020, 22:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wird nicht gehen, wenn die Zielmengen gleich und die Bilder verschieden sind. Du könntest eine Abbildung von S in das cartesische Produkt der Zielmengen daraus machen. Ich weiß aber nicht, wie man das bezeichnet. Es gibt viele verschiedene Situationen, in denen man so etwas macht, und die Bezeichnungen sind abhängig von der jeweiligen Theorie, in der man arbeitet.
26.05.2020, 02:43	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Anschließend an Elvis, betrachte $\begin{eqnarray} T_0 = T_1 =1, t_i : T_i \to T_0 + T_1 \cong \{0,1\}, ~ t_i() = i,~ i=0,1 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} S :=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s_i:S =1 \to 1 =T_i \end{eqnarray}$ die Identität. Dann gibt es keine Abbildung $\begin{eqnarray} s:S \to T \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} s = t_0 \circ s_0 = t_1 \circ s_1 \end{eqnarray}$ . Elvis wies auf Produkte hin. Seien $\begin{eqnarray} (P_k)_{k \in I} \end{eqnarray}$ Mengen und $\begin{eqnarray} P:=\prod_{k \in I} P_i \end{eqnarray}$ das kartesische Produkt. Es bezeichne $\begin{eqnarray} p_i : P \to P_i \end{eqnarray}$ die "Projektion auf die $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -te Koordinate" (sagen wir, $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ist endlich oder abzählbar). Dann gilt: Für jede Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ und Abbildungen $\begin{eqnarray} s_i: S \to P_i \end{eqnarray}$ gibt es eine eindeutige Abbildung $\begin{eqnarray} s:S \to P \end{eqnarray}$ , für die gilt $\begin{eqnarray} p_i \circ s = s_i \end{eqnarray}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ ist die "Zieltupelung" der $\begin{eqnarray} s_i \end{eqnarray}$ , d.h. man könnte schreiben $\begin{eqnarray} s(a) = (s_i(a))_{i \in I} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a \in S \end{eqnarray}$ . Eine duale Eigenschaft gilt für die disjunkte Vereinigung (Koprodukt): Seien $\begin{eqnarray} (A_k)_{k \in I} \end{eqnarray}$ Mengen und $\begin{eqnarray} A := \coprod_{k \in I} A_k \end{eqnarray}$ . Es bezeichne $\begin{eqnarray} a_i: A_i \to A \end{eqnarray}$ die Inklusion $\begin{eqnarray} a_i(x) := (i,a) \end{eqnarray}$ . Dann gilt: Für jede Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ und Abbildungen $\begin{eqnarray} s_i : A_i \to S \end{eqnarray}$ gibt es genau eine Abbildung $\begin{eqnarray} s: A \to S \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s \circ a_i = s_i \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \in I \end{eqnarray}$ . Durch diese universellen Eigenschaften sind die Objekte $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt: Jedes Objekt mit derselben Eigenschaft für eine vorgegebene Familie von Mengen steht in bijektiver Beziehung zu $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray*}$ . Analoge Konstruktionen gibt es auch für komplexere Strukturen. Z.B. haben Gruppen und topologische Räume ein kartesisches Produkt.
27.05.2020, 08:11	TomS	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke an euch beide. Ich denke, ihr beweist mit euren Gegenbeispielen, dass es zusätzlicher Bedingungen bedarf. Hier ein einfaches Beispiel, wo dies m.E. funktioniert. Seien S und T_n disjunkte Intervalle reeller Zahlen: $\begin{eqnarray} \tau_n: (0,1) \;\to\; (n,n+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tau(x) = x+n \end{eqnarray}$ Dann wäre $\begin{eqnarray} \bigcup_n T_n \end{eqnarray}$ die Vereinigung disjunkter Intervalle. Was wäre denn dann eine vernünftige Notation anstelle von $\begin{eqnarray} \bigcup_n \tau_n \end{eqnarray}$ Ich versuche, das aus der Konstruktion von zweiundvierzig herauszulesen, aber es will mir nicht gelingen.
27.05.2020, 08:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die schlichte Menge nicht prägnant genug? $\begin{eqnarray} \{\tau_n: (0, 1)\to \mathbb R, x\mapsto x+n\|n\in \mathbb N \} \end{eqnarray}$
27.05.2020, 13:45	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} f: A \to B, g: A \to C \end{eqnarray}$ schreibt man $\begin{eqnarray} \langle f,g \rangle: A \to B \times C \end{eqnarray}$ (oder $\begin{eqnarray} (f,g): A \to B \times C \end{eqnarray}$ ) für die induzierte universelle Abbildung in das Produkt. Dual dazu schreibt man für $\begin{eqnarray} f:B \to A \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g : C \to A \end{eqnarray}$ die induzierte universelle Abbildung vom Koprodukt als $\begin{eqnarray} [f,g]: B+C \to A \end{eqnarray}$ . Wenn Produkte existieren, dann auch ein "funktorielles Produkt" von Abbildungen. Für $\begin{eqnarray} f:A \to B, g: C \to D \end{eqnarray}$ gibt es eine kanonische Abbildung $\begin{eqnarray} f \times g: A \times C \to B \times D \end{eqnarray}$ . Dual dazu gibt es im Falle von Koprodukten eine kanonische Abbildung $\begin{eqnarray} f + g: A + C \to B + D \end{eqnarray}$ .
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29.05.2020, 10:07	TomS	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das hilft erst mal weiter.

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