Erwartungswert eines abhängigen Produktes

30.05.2020, 08:34

Nurzweifragen

Erwartungswert eines abhängigen Produktes

Die Lösung für folgende Aufgabe hat mich etwas überrascht, weswegen ich sie kurz besprechen wollte.
Anscheinend habe ich ein falsches Verständnis vom EW eines Produktes gehabt.

$\begin{eqnarray*} X_1,..X_n,Y_1,..,Y_n \end{eqnarray*}$ unabh. auf {0,1} verteilt mit P(X=1) = p.
$\begin{eqnarray*} S_n := \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_n := \sum_{i=1}^n X_i*Y_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_n(S_n,T_n) = E(S_n*T_n) - E(S_n)*E(T_n) \end{eqnarray*}$

Der zweite Teil ergibt n^2*p^3, das habe ich so weit richtig.

Beim ersten Teil habe ich ich beide Summen zusammengefasst, da sie ja beide über X laufen.
$\begin{eqnarray*} Z_n := \sum_{i=1}^n X_i*(1+Y_i) \end{eqnarray*}$

Da die variablen uiv sind habe ich den EW von Z simpel mit n*(0*(p-1)+1*p*(p-1)+2*p*p) berechnet.
Der Gedanke war, dass es sich um die selben X_i in beiden Folgen handelt.
Das Ergebnis war aber falsch.

Gelöst wurde es deutlich umständlicher, indem der EW des ersten Teils aufgeteilt wurde:
$\begin{eqnarray*} E(S_n*T_n) = \sum_{i=1}^n E(X_i^2*Y_i) + 2* \sum_{1 \leq i < j \leq n} E(X_i*X_j*Y_j) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = np^2 + n(n-1)p^3 \end{eqnarray*}$ Der Schritt wieder ist mir klar.
Kann bitte jemand meinem Verständnis auf die Sprünge helfen, warum ich den von mir genannten Zusammenhang nicht nutzen kann?

30.05.2020, 11:24

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erwartungswert eines abhängigen Produktes

Zitat:

Original von Nurzweifragen
Beim ersten Teil habe ich ich beide Summen zusammengefasst, da sie ja beide über X laufen.
$\begin{eqnarray*} Z_n := \sum_{i=1}^n X_i*(1+Y_i) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig verstehe, meinst du, es sei

$\begin{eqnarray*} Z_n=S_nT_n \end{eqnarray*}$

Das stimmt aber nicht.

30.05.2020, 17:15

Nurzweifragen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erwartungswert eines abhängigen Produktes
Richtig, das dachte ich.
Dass es falsch ist habe ich ja geschrieben, aber warum?

Fangen wir mit S_n an. der EW ist np.
Nun Tn, dort haben wir np Terme übrig, die anderen entfallen wegen X_i = 0 bereits.
Von diesen np gilt wiederrum für p*100%, dass sie 1 bleiben, da Y_i = 1.
Insgesamt gilt also T_n = n*p*p. Als Produkt also wieder n^2p^3. Wo liegt der Fehler?

30.05.2020, 17:36

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erwartungswert eines abhängigen Produktes
Betrachte mal den Fall $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} S_1=X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_1=X_1Y_1 \end{eqnarray*}$ . Also

$\begin{eqnarray*} S_1T_1=X_1^2Y_1 \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} Z_1=X_1(1+Y_1)=X_1+X_1Y_1 \end{eqnarray*}$

Das ist offensichtlich nicht dasselbe.

Neue Frage »

Antworten »

Erwartungswert eines abhängigen Produktes

Verwandte Themen