Müssten hier nicht dieselben Vektoren sein?

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Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »
Müssten hier nicht dieselben Vektoren sein?
Meine Frage:
Hallo, Freunde der Erzeugnisse!
Ich bin auf folgenden Satz gestoßen und meine, einen Fehler gefunden zu haben:
Für jede Menge eines -Vektorraums gilt:
ist ein Untervektorraum von .
Beweis des ersten Kriteriums:
Nehmen wir zwei Elemente aus , also zwei Linearkombinationen und von , so ist die Summe:
.
Da stellt sich mir die Frage, ob denn nicht eigentlich die , weil die ja aus derselben Menge sind, also .
Außerdem ist die Aussage, dass die Summe wieder im Erzeugnis sind, wenig valide.
Mit meiner Argumentationen ergäbe sich:
.
Oder war das gar kein Fehler und ich habe was missverstanden?

~ angentialvektor

Meine Ideen:
.
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RE: Müssten hier nicht dieselben Vektoren sein?
Zitat:
Original von Tangentialvektor
[Da stellt sich mir die Frage, ob denn nicht eigentlich die , weil die ja aus derselben Menge sind, also .

Ob nicht eigentlich... was? geschockt

Zitat:
Original von Tangentialvektor
Außerdem ist die Aussage, dass die Summe wieder im Erzeugnis sind, wenig valide.

Was soll das bedeuten?

Du kannst natürlich die auftretenden Vektoren alle in einen Topf werfen und bei Bedarf z.B. in der Darstellung von zusätzliche Summanden in Form einer Null einfügen.
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Müssten hier nicht dieselben Vektoren sein?
Ob die denn eigentlich nicht dieselben sind.
Die Vektoren kommen alle aus der Menge . Der Vektor ist eine Linearkombination dieser. Der Vektor hat ist eine Linearkombination anderer Vektoren, nämlich . Also können die gar nicht beide aus kommen.
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RE: Müssten hier nicht dieselben Vektoren sein?
Natürlich können sie, das ist alles nur eine Frage der Notation.
Zunächst gibt es nur eine Menge und die davon erzeugte Menge (das sind vermutlich alle endlichen Linearkombinationen von Elementen aus ).
Nimmt man sich dann , dann gibt es nach Definition von Elemente und und Skalare ,
sodass und . Wie man die Elemente von nennt, bleibt einem überlassen.


Falls man aber, wie Du es getan hast, vorher definiert, dass sein soll, dann kann man in der Tat sagen, es gibt Elemente und Skalare ,
sodass und .
Im allgemeinen werden hier einige Skalare gleich Null sein, während man oben sogar annehmen kann, dass alle Skalare von Null verschieden sind.
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