Zufallsvariablen Varianz

06.06.2020, 12:54

svmer

Zufallsvariablen Varianz

Meine Frage:
Hallo. Seien $\begin{eqnarray*} X_1...X_N \end{eqnarray*}$ identisch verteilte Zufallsvariablen und seien $\begin{eqnarray*} N,X_1...X_N \end{eqnarray*}$ unabhängig. Weiter sei $\begin{eqnarray*} S=X_1+...+X_N \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

(i) $\begin{eqnarray*} E(S)=E(N)*E(X) \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} V(S)=E(N)V(X)+V(N)*( E(X) )^2 \end{eqnarray*}$ , vorausgesetzt wird, dass die Erwartungswerte und Varianzen endlich sind.

Sei nun $\begin{eqnarray*} SS= \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N} X_i \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} E(SS)= E(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(SS)= E(1/N)V(X) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weiß wie man auf $\begin{eqnarray*} E(SS)= E(X) \end{eqnarray*}$ kommt:

$\begin{eqnarray*} E(SS)= E(\frac{1}{N}S)=E(\frac{1}{N}) E(N)E(X)=E(X) \end{eqnarray*}$ , aber wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} V(SS)= E(1/N)V(X) \end{eqnarray*}$ ??

06.06.2020, 13:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von svmer
Seien $\begin{eqnarray*} X_1...X_N \end{eqnarray*}$ identisch verteilte Zufallsvariablen und seien $\begin{eqnarray*} N,X_1...X_N \end{eqnarray*}$ unabhängig.

Das geht schon falsch los: Da $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ selbst eine Zufallsvariable ist, die (wie ich annehme) auch gar nicht beschränkt ist, sollte es besser so formuliert werden:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray*}$ eine Folge identisch verteilter Zufallsvariablen und seien $\begin{eqnarray*} N,X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray*}$ unabhängig. Dabei ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ verteilt, d.h., nimmt nur positive ganze Zahlen an.

Für jede aus $\begin{eqnarray*} N,X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray*}$ konstruierte Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ kann man nun für die Erwartungswertberechnung nutzen

$\begin{eqnarray*} E(T) = E\left(E(T\mid N)\right) = \sum_{n=1}^{\infty} E(T \mid N=n)\cdot P(N=n) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von svmer
$\begin{eqnarray*} E(SS)= E(\frac{1}{N}S)=E(\frac{1}{N}) E(N)E(X)=E(X) \end{eqnarray*}$

Wie begründest du diese Rechnung? Die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sind hier NICHT unabhängig, so dass die Trennung $\begin{eqnarray*} E\left(\frac{1}{N}S\right) \stackrel{?}{=} E\left(\frac{1}{N}\right)\cdot E(S) \end{eqnarray*}$ keinesfalls selbstverständlich ist! unglücklich

06.06.2020, 13:34

Svmer

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Ich habe so gedacht:
Nach Der Aufgabe sind N,X1,...,XN unabhängig, daher ist auch die Summe X1+...+XN= S unabhängig von N, das ist also falsch?

Dann habe ich keine Ahnung was ich machen soll

06.06.2020, 13:40

Svmer

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Und doch N ist schon beschränkt

06.06.2020, 13:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Svmer
daher ist auch die Summe X1+...+XN= S unabhängig von N

Ganz einfaches Gegenbeispiel:

Alle Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray*}$ seien konstant gleich 1. Dann ist $\begin{eqnarray*} S=X_1+\ldots+X_N=N \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ nur dann unabhängig, wenn es auch konstant (d.h. nichtzufällig) ist - das ist aber i.a. nicht der Fall. unglücklich

06.06.2020, 13:46

svmer

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Ahh macht sinn. Danke..

Wie soll ich also vorgehen ?

06.06.2020, 13:48

HAL 9000

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Das habe ich oben schon geschrieben. Ok, eine Beispielrechnung dazu: Sei $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ irgendeine auf den natürlichen Zahlen definierte Funktion. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} E\left(g(N)S\right) &=& \sum_{n=1}^{\infty} E\left(g(N)S \mid N=n\right)\cdot P(N=n) = \sum_{n=1}^{\infty} E\left( g(N)\sum_{i=1}^N X_i \Bigm| N=n\right)\cdot P(N=n)\\ &=& \sum_{n=1}^{\infty} E\left( g(n)\sum_{i=1}^n X_i \Bigm| N=n\right)\cdot P(N=n)\stackrel{!}{=} \sum_{n=1}^{\infty} E\left( g(n)\sum_{i=1}^n X_i\right)\cdot P(N=n) \end{eqnarray*}$

letzteres kann man dann der FESTEN Summandenanzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wegen aus der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray*}$ folgern! Es geht dann weiter mit

$\begin{eqnarray*} E\left(g(N)S\right) = \sum_{n=1}^{\infty} g(n)\sum_{i=1}^n E\left( X_i\right)\cdot P(N=n) = \sum_{n=1}^{\infty} ng(n)\cdot E\left( X_1\right)\cdot P(N=n) = E\left(Ng(N)\right)\cdot E\left( X_1\right) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} g(n)=1 \end{eqnarray*}$ bedeutet das $\begin{eqnarray*} E(S) = E(N)\cdot E\left( X_1\right) \end{eqnarray*}$ , während es für $\begin{eqnarray*} g(n)=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} E(SS) = E\left( X_1\right) \end{eqnarray*}$ zur Folge hat.

08.06.2020, 09:36

HAL 9000

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Hmm, auch wenn der Fragesteller kein Interesse mehr hat: Ganz ähnlich kann man berechnen

$\begin{eqnarray*} E\left(g(N)S^2\right) &=& \sum_{n=1}^{\infty} E\left( g(n)\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n X_iX_j\right)\cdot P(N=n) = \sum_{n=1}^{\infty} g(n)\left(n E\left( X_1^2\right) + n(n-1)\left(E\left( X_1\right)\right)^2\right)\\ &=& \sum_{n=1}^{\infty} g(n)\left(n V\left( X_1\right) + n^2\left(E\left( X_1\right)\right)^2\right) = E\left(Ng(N)\right)\cdot V\left( X_1\right) + E\left(N^2g(N)\right)\cdot\left(E\left( X_1\right)\right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} g(n)=1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} E\left(S^2\right) = E(N)\cdot V\left( X_1\right) + E\left(N^2\right)\cdot\left(E\left( X_1\right)\right)^2 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} V(S) = E\left(S^2\right) - \left(E(S)\right)^2 = E(N)\cdot V\left( X_1\right) + V(N)\cdot\left(E\left( X_1\right)\right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} g(n) = \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ bedeutet es hingegen $\begin{eqnarray*} E\left(SS^2\right) = E\left(\frac{1}{N}\right)\cdot V\left( X_1\right) + \left(E\left( X_1\right)\right)^2 \end{eqnarray*}$ , was dann zu $\begin{eqnarray*} V(SS) = E\left(SS^2\right) - \left(E(SS)\right)^2 = E\left(\frac{1}{N}\right)\cdot V\left( X_1\right) \end{eqnarray*}$ führt.

08.06.2020, 13:31

Svmer

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Ohaa vielen Dank Hal9000! Das sieht super aus Freude

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