Grenzwert x^2/sinh^2(x)

06.06.2020, 18:35

Jan Schneider

Grenzwert x^2/sinh^2(x)

Hallo,
ich fürchte ich bin mit den Rechenregeln für Grenzwerte nicht so ganz vertraut; ich kann leider rechnerisch nicht nachvollziehen wieso folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{x^2}{sinh(x)^2}} = 1 \end{eqnarray*}$

Ich probiere es mit Umschreiben des Sinus hyperbolicus in

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

und dann vereinfache ich den Term etwas, komme aber einfach immer auf 0, nicht auf 1. Das x^2 im Zähler wird 0, da hänge ich absolut. Was übersehe ich? Könnte mir jemand einen Denkanstoß geben bitte?

06.06.2020, 19:15

Elvis

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Weil ich nicht viel von Analysis verstehe fällt mir bei $\begin{eqnarray*} \frac 0 0 \end{eqnarray*}$ immer nur de l'Hospital ein.

06.06.2020, 19:23

klauss

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RE: Grenzwert x^2/sinh^2(x)
Man könnte hier zweimal L'Hospital anwenden, aber das ist mir eigentlich zu plump.
Ich möchte mal etwas selteneres probieren:

Für $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \{0} gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax}=1 \end{eqnarray*}$

Wenn das auch für $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ \{0} gilt, kann man mit diesem bekannten Grenzwert die Beziehung
$\begin{eqnarray*} \sin(ix)=i \cdot \sinh(x) \end{eqnarray*}$
ausnutzen.

06.06.2020, 19:35

Jan Schneider

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Danke für die Antworten, finde ich beide sehr hilfreich. Mit de L'Hospital komme ich sehr schnell auf das Ergebnis, allerdings haben wir in der Vorlesung noch keine Differentiation eingeführt, weshalb ich nicht sicher bin ob ich das benutzen darf/soll. Dazu wird die Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ betrachtet, also weiß ich nicht ob ich eine Beziehung aus den komplexen Zahlen verwenden kann; kann ich das denn irgendwie folgern?

06.06.2020, 19:38

Leopold

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$\begin{align*} \frac{\sinh(x)}{x} \end{align*}$ ist der Differenzenquotient des Sinus hyperbolicus an der Stelle 0. Somit strebt er für $\begin{align*} x \to 0 \end{align*}$ gegen $\begin{align*} \cosh(0) = 1 \end{align*}$ . Kehrwertbildung: $\begin{align*} \frac{x}{\sinh(x)} \end{align*}$ und Quadrieren: $\begin{align*} \left( \frac{x}{\sinh(x)} \right)^2 \end{align*}$ ändern daran nichts. Das sind stetige Funktionen mit Fixpunkt 1.

Wenn ihr in der Vorlesung noch keine Differentiation hattet, dann mußt du uns sagen, was ihr hattet und wie ihr den Sinus hyperbolicus und die Exponentialfunktion eingeführt habt.

06.06.2020, 19:41

Jan Schneider

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Zitat:

Wenn ihr in der Vorlesung noch keine Differentiation hattet, dann mußt du uns sagen, was ihr hattet und wie ihr den Sinus hyperbolicus und die Exponentialfunktion eingeführt habt.

Wir haben Reihen und Konvergenzradien behandelt und über die Potenzreihen die Exponentialfunktion, die Reihendarstellung für Sinus/Kosinus und auch die hyperbolischen Funktionen eingeführt.

06.06.2020, 19:54

Leopold

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Dann mach das über Reihen:

$\begin{align*} \sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \ldots \end{align*}$

Was ist dann die Reihe für $\begin{align*} \frac{\sinh(x)}{x} \end{align*}$ ? Und was ist mir ihr bei $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ ?

Anschließende Kehrwertbildung und Quadrieren wie gehabt.

06.06.2020, 21:43

Jan Schneider

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Zitat:

Original von Leopold
Dann mach das über Reihen:

$\begin{align*} \sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \ldots \end{align*}$

Was ist dann die Reihe für $\begin{align*} \frac{\sinh(x)}{x} \end{align*}$ ? Und was ist mir ihr bei $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ ?

Anschließende Kehrwertbildung und Quadrieren wie gehabt.

Würde jetzt analog dazu: $\begin{eqnarray*} \frac{sinh(x)}{x}=\frac{x}{x}+\frac{x^2}{3!}+... \end{eqnarray*}$

Bei Quadrieren und Kehrwertbilden das auf die Einzelglieder anwenden und für x=0 1+0+... also 1 erhalten. Passt das so? Tolle Idee jedenfalls, danke dafür!

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