Basis für bestimmte Form bestimmen (Diagonalisierung, Gram'sche Matrix,...)

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Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »
Basis für bestimmte Form bestimmen (Diagonalisierung, Gram'sche Matrix,...)
Hallo zusammen,

ein Kommilitone und ich knobeln seit einiger Zeit an einer Aufgabe herum, da wir uns nicht sicher sind, ob unser Ansatz korrekt ist. Die Aufgabe stammt aus Fischers Lineare Algebra (vgl. S.329 falls zur Hand):

Gegeben ist die Gramsche Matrix der symmetrischen Bilinearform s:



Bestimmen Sie eine Basis B, sodass:



Unsere Idee war per Trägheitssatz die Gramsche Matrix durch simultane Zeilen- und Spaltenumformungen auf die entsprechende Form zu bringen, sodass . Wir haben uns dabei allerdings immer verrannt und im besten Fall eine Diagonalmatrix rausbekommen, die Einträge auf der Hauptdiagonalen wichen allerdings von den geforderten ab.
Ist der Ansatz überhaupt richtig? Hauptachsentransformation für eine "normale" Diagonalisierung ist kein Problem, aber das hier überfordert uns etwas.
Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe es. Ich habe versäumt, links bei Division das Ganze zweimal (Zeile und Spalte) durchführen zu müssen, also schoss ich immer knapp am Ziel vorbei. Nach der Umformung ergibt sich jetzt



Zwischen den Matrizen bitte einen Strich denken, das ist das Ergebnis der simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen.

Entschuldigt den (überflüssigen) Thread, wir sind vorgestern 3 Stunden an der Aufgabe verzweifelt. Ich hätte jetzt auch nicht erwartet, des Rätsels Lösung selbst in 10 Minuten zu finden...
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