Komplexe Zahl: Quadratische Gleichung für z mit Parametern z*

12.06.2020, 21:47	mrclndr	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahl: Quadratische Gleichung für z mit Parametern z* (Das z* im Titel steht für $\begin{eqnarray} \bar{z} \end{eqnarray}$ .) Die Aufgabe: $\begin{eqnarray} z+\bar{z}z+\bar{z}^{2}=0 \end{eqnarray}$ WolframAlpha gibt an, dass dafür keine Lösungen existieren (https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%...5E2+solve+for+z). Ich habe die folgenden zwei Ansätze ausprobiert: 1. pq-Formel, mit Ergebnis $\begin{eqnarray} -\frac{1}{\bar{z}}\pm \sqrt{\frac{1}{\bar{z}^2 }-\bar{z}^2} \end{eqnarray}$ . Da kommt mir nicht vor, dass es möglich oder jedenfalls sinnvoll ist, das weiter zu vereinfachen. 2. Rechnen mit $\begin{eqnarray} z=a+bi \end{eqnarray}$ . Da kriege ich am Schluss $\begin{eqnarray} 3a^{2}-b^{2}=0 \end{eqnarray}$ . Beide Variablen bekomme ich damit nicht weg. Was kann ich denn da noch machen? Bzw. liege ich irgendwo falsch? Danke!
13.06.2020, 00:23	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahl: Quadratische Gleichung für z mit Parametern z* Du hast oben die Gleichung offenbar falsch angegeben. Es ging sicher um $\begin{eqnarray} \textcolor{red}{z^{2}}+...=0 \end{eqnarray}$ Warum WolframAlpha mit Deiner Syntax nicht zurechtkommt, weiß ich nicht. Gibt man aber die Gleichung mit $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ in der Form $\begin{eqnarray} x+iy \end{eqnarray}$ ein, findet er die Lösungen, die aus Deinem 2. abgebrochenen Ansatz folgen. Deine Gleichung liefert eine Beziehung zwischen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , die Du noch auswerten mußt. Auf dieselben Lösungen kommt man, wenn man die Exponentialform $\begin{eqnarray} z=re^{i\varphi} \end{eqnarray}$ in die Gleichung einsetzt.
20.06.2020, 00:12	mrclndr	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau, z^2 war's. Habe jetzt Verunsicherung überwunden und mich getraut, trotz WolframAlpha-Auskunft weiterzurechnen. Ist also geklärt. Danke dir!

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