Es ex. B mit BA = E_n wenn f_A injektiv ist

15.06.2020, 00:13	FredDerGroße	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ex. B mit BA = E_n wenn f_A injektiv ist Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper, $\begin{eqnarray} A \in K^{m \times n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi_A \end{eqnarray}$ die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \phi_A: K^n \to K^m, v \mapsto Av. \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass es genau dann eine Matrix $\begin{eqnarray} B \in K^{n \times m} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} BA = E_n \end{eqnarray}$ gibt, wenn $\begin{eqnarray} \phi_A \end{eqnarray}$ injektiv ist. Meine Ideen: Ich habe leider keinen geeigneten Ansatz gefunden, der mit hierbei helfen würde. In der ersten Teilaufgabe musste ich zeigen, dass es genau dann eine Matrix $\begin{eqnarray} B \in K^{n \times m} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} AB = E_m \end{eqnarray}$ gibt, wenn $\begin{eqnarray} \phi_A \end{eqnarray}$ surjektiv ist. Dies habe ich mit dem Konzept eines vollen Rangs gezeigt und damit, dass die Spalten der Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} E_m \end{eqnarray}$ eine Basis des Vektorraums $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ bilden. Kann ich hier einen ähnlichen Ansatz verwenden?
15.06.2020, 07:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine injektive Abbildung f von X nach Y ist bijektiv von X nach f(X). Dass f(X) ein UVR von Y ist, wenn X, Y VRe und f linear, ist klar.

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