Unendliche Produkte: Logarithmuskriterium

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Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche Produkte: Logarithmuskriterium
Wir sollen zeigen, dass gilt (k iteriert über N)

konvergiert absolut
konvergiert absolut.

In die eine Richtung würde ich derzeit wie folgt argumentieren:

und für x > 1 gilt

. Mit x = 1 - h_k folgere ich:

. Nun der Schritt weswegen ich mir unsicher bin:

Es konvergiert dann auch
, da die Konvergenz von impliziert, dass und damit muss auch h_k -> 0 gehen. Dann aber sollte auch konvergieren (da beide absolut konvergieren). Dann aber folgt mit der Ungleichung oben die Konvergenz von . Diese ist hier wegen h_k > 0 gewiss absolut.

Die Umkehrung ist trivial, wegen log(1 + h_k) < h_k, h_k > 1.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche Produkte: Logarithmuskritierium
Zitat:
Original von Namenloser324
. Mit x = 1 - h_k folgere ich:

.


Nachdem du durch teilst, folgerst du also bzw. . Das ist also sicherlich verkehrt.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohja, peinlich, danke!

Korrekt sollte sein. Dann ist die Frage, ob ich damit weiterkomme. Damit die selbe Logik wie im Eingangspost gilt, muss konvergieren. Diese Reihe konvergiert, wenn die Reihen und konvergieren. Die erstere konvergiert nach Voraussetzung und die letzte konvergiert, weil h_k -> 0 absolut konvergiert d.h. für ein n >= 0 gilt . Daraus kann ich die Konvergenz des Gesamtausdrucks folgern und die Logik wie im Eingangspost fortsetzen.

Habe ich einen Fehler gemacht?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Logik passt. Kleines Detail:

Zitat:
Original von Namenloser324[...]die letzte konvergiert, weil h_k -> 0 absolut konvergiert [...]


Folgen konvergieren nicht "absolut" bzw. habe ich von einer solchen Definition noch nicht gehört.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, vielleicht werde ich in meinem Leben irgendwann nocheinmal präziser Big Laugh Die aus h_k gebaute Reihe ist natürlich gemeint, verzeihung! Super, danke sehr smile
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