Komplexes Kurvenintegral

18.06.2020, 22:44

Susanno95

Komplexes Kurvenintegral

Guten Abend zusammen ,
ich wollte Fragen ob das was ich gerechnet habe richtig ist...

Ich soll folgende Kurvenintegrale berechnen:
$\begin{eqnarray*} (i) \gamma: \left[0,2\pi\right] \rightarrow \mathbb C , t \rightarrow re^{it} , f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, z \rightarrow \overline{z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ii) \gamma: \left[0,2\pi\right] \rightarrow \mathbb C , t \rightarrow re^{int} , f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, z \rightarrow z^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (iii) \gamma: \left[0,2\pi\right] \rightarrow \mathbb C , t \rightarrow a*cos(t)+i*b*sin(t) , f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, z \rightarrow Re(z) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} (i) \int_{0}^{2\pi} \! \overline{re^{it}}ire^{it} \, dt= \int_{0}^{2\pi} \! {re^{-it}}ire^{it} \, dt =\int_{0}^{2\pi} \! ir^{2}e^{-it+it} \, dt =\int_{0}^{2\pi} \! ir^{2}e^{it(-1+1)} \, dt = \int_{0}^{2\pi} \! ir^{2}e^{0} \, dt = \int_{0}^{2\pi} \! ir^{2} \, dt =ir^{2}\int_{0}^{2\pi} \! \, dt = ir^{2} \left[t\right] \left[0,2\pi \right] =ir^{2}(2\pi-0)= 2ir^{2}\pi \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} (ii) \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{re^{int}}inre^{int} \, dt = \int_{0}^{2\pi} \! in \, dt = in \int_{0}^{2\pi} \! \, dt = in \left[t\right] \left[0,2\pi\right]=in(2\pi-0)=2in\pi \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi} \! z^{-1} \, dz= \int_{0}^{2\pi} \! \frac{\overline{z}}{|z|^{2} }\, dz = \frac{1}{r^2} \int_{0}^{2\pi} \! \overline{z}\, dz = \frac{1}{r^2} * \int_{0}^{2\pi} \! \overline{re^{int}}inre^{int} \, dt= \frac{1}{r^2} \int_{0}^{2\pi} \! {re^{-nit}}inre^{nit} \, dt =\frac{1}{r^2} \int_{0}^{2\pi} \! inr^{2}e^{-nit+nit} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{r^2}\int_{0}^{2\pi} \! inr^{2}e^{itn(-1+1)} \, dt = \frac{1}{r^2} \int_{0}^{2\pi} \! inr^{2}e^{0} \, dt = \frac{1}{r^2} \int_{0}^{2\pi} \! inr^{2} \, dt = \frac{1}{r^2} inr^{2}\int_{0}^{2\pi} \! \, dt = in \left[t\right] \left[0,2\pi \right] =in(2\pi-0)= 2in\pi \end{eqnarray*}$

Darf ich den ersten übrhauot im komplexen so machen???

(iii)
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi} \! Re(a*cos(t)+ibsin(t))(-a*sin(t)+ibcos(t)) \, dt = \int_{0}^{2\pi} \! a*cos(t)(-a*sin(t)+ibcos(t)) \, dt = \int_{0}^{2\pi} \! -a^2cos(t)sin(t)+aibcos^2(t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{2\pi} \! -a^2cos(t)sin(t) \, dt +i\int_{0}^{2\pi} \! abcos^2(t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-a^2 \int_{0}^{2\pi} \!cos(t)sin(t) \, dt +iab\int_{0}^{2\pi} \! cos^2(t) \, dx <br /> = -a^2 \left[\frac{sin^2(t)}{2}\right] \left[0,2\pi\right] +aib \left[\frac{cos(t)sin(t)+t}{2}\right] \left[0,2\pi\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-a^2 (\frac{sin^2(2\pi)}{2}-\frac{sin^2(0)}{2}) +aib (\frac{cos(2\pi)sin(2\pi)+2\pi}{2}-\frac{cos(0)sin(0)+0}{2})=-a^2*0+aib\frac{2\pi}{2}=aib\pi \end{eqnarray*}$

Und habe noch eine weitere Aufgabe

Seien $\begin{eqnarray*} D_(1)=D(-2,2,3i) \end{eqnarray*}$ das Dreieck mit Eckpunkten $\begin{eqnarray*} -2,2,-3i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_{2} \end{eqnarray*}$ der Halbkreis $\begin{eqnarray*} B_{2}(0)\cap {z \in \mathbb C: Imz > 0} \end{eqnarray*}$
Berechnen Sie
$\begin{eqnarray*} \int_{\partial D_{i}}^{} \! z^2\overline{z} \, dz \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} D_{1} \end{eqnarray*}$ habe ich erstmal eine Parametrisierung gefunden: von -2 nach 2 , 2 nach 3i, 3i nach -2

$\begin{eqnarray*} \gamma =\begin{pmatrix} \gamma_{1}(t)=-2+4t\\ \gamma_{2}(t)=2+t(3i-2) \\ \gamma_{3}(t)=3i+t(-2-3i)\end{pmatrix} t \in \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial D_{1}}^{} \! z^2\overline{z} \, dz= \int_{0}^{1} \! (-2+4t)^2(\overline{-2+4t})4 \, dt+ \int_{0}^{1} \! (2+t(3i-2))^2(\overline{2+t(3i-2})(3i-2) \, dt + \int_{0}^{1} \! (3i+t(-2-3i))^2(\overline{3i+t(-2-3i})(-2-3i) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{1} \! (-2+4t)^2(-2+4t)4 \, dt+ \int_{0}^{1} \! (2+t(3i-2))^2(\overline{2+3it-2t})(3i-2) \, dt + \int_{0}^{1} \! (3i+t(-2-3i))^2(\overline{3i+-2t-3it})(-2-3i) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{1} \! (-2+4t)^2(-2+4t)4 \, dt+ \int_{0}^{1} \! (2+t(3i-2))^2(2-3it-2t)(3i-2) \, dt + \int_{0}^{1} \! (3i+t(-2-3i))^2(-2t-i(3-3t))(-2-3i) \, dt \end{eqnarray*}$

Ist das überhaupt soweit richtig??

$\begin{eqnarray*} D_{2} \end{eqnarray*}$ ist doch ein Halkreis mit Imaginärteil größer 0 und Radius 2 also oberhalb der Realachse?

Danke euch schonmal...

edit Mathema: Überlänge entfernt

19.06.2020, 19:47

Susanno95

Komplexes Kurvenintegral

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