Doppelintegral Reihenfolge und Grenzen

26.06.2020, 21:32	MatheAhnungsloser	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral Reihenfolge und Grenzen Hallo, ich habe eine Frage zur Lösung des folgenden Integrals: $\begin{eqnarray} \int_{x=-3}^{x=3}\int_{y=0}^{y=\sqrt{9-x^2}}x²4y\,\,dxdy \end{eqnarray}$ Kann ich, bzw. wieso kann ich jetzt dx und dy einfach tauschen? Normalerweise geht das ja nur bei konstanten Integrationsgrenzen. Oder geht das eigentlich nicht einfach, sondern ich muss die Integrationsgrenzen tauschen und die Reihenfolge so lassen, was für mich ebenfalls unlogisch ist, weil Integrationsgrenzen tauschen eigtl. auch immer die Reihenfolge tauscht. Insgesamt kann man die Frage wohl auch so stellen: Bestimmen die Grenzen oder die infinitesimalen Elemente (dx und dy) die Integrationsreihenfolge? Jedenfalls erhalte ich als Lösung $\begin{eqnarray} \int_{x=-3}^{x=3}\int_{y=0}^{y=\sqrt{9-x^2}}x²4y\,\,dxdy = \frac{648}{5} \end{eqnarray}$ Der Integrationsbereich entspricht einem Halbkreis in der x-y-Ebene mit dem Mittelpunkt (0;0) und dem Radius 3. Ist das erstmal so korrekt, bzw. kann das jemand bestätigen? Wäre schön, wenn jemand meine Verwirrung bezüglich Reihenfolge und Grenzen beseitigen könnte. Danke schonmal
26.06.2020, 22:10	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppelintegral Reihenfolge und Grenzen Integrationsbereich und Ergebnis sind korrekt. Die Schreibweise ist allerdings insoweit falsch, als es sich um ein $\begin{eqnarray} dydx \end{eqnarray}$ -Integral handelt. Vielleicht war es so von Dir gemeint und Du bist beim Rechnen dann richtig vorgegangen, aber das solltest Du kurz bestätigen, damit da kein Zweifel aufkommt. Wenn man daraus nun tatsächlich ein $\begin{eqnarray} dxdy \end{eqnarray}$ -Integral machen will, würde ich nicht von Vertauschung der Integralgrenzen sprechen, sondern besser von Anpassung, denn ein paar Gedanken gehören schon dazu. Ohne jetzt groß Lehrsätze und Definitionen zu zitieren, kann man das anschaulich angehen. Ich glaube, dass ich da vor einiger Zeit mal 2 Bildchen in einem Post verwendet hatte, die hier nützlich sein könnten, die geh ich mal eben suchen, damit ich mir die Arbeit nicht nochmal machen muß.
26.06.2020, 23:58	MatheAhnungsloser	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke erstmal für die Bestätigung des richtigen Ergebnisses. Die Aufgabe ist aber tatsächlich so gestellt, dass die Grenzen einen andere Reihenfolge haben als die Integranden. Ich bin beim integrieren so vorgegangen, dass ich einfach mal dx und dy getauscht hab, weil dann die Grenzen ja passen. Das Ergebnis wirkte außerdem plausibel. Jedoch war ich verwirrt, dass für das dx Integral y (x) Grenzen angegeben waren. Daher meine Nachfrage. Kannst du mir erklären, was das soll und wie man das formell korrekt "anpasst"?
27.06.2020, 00:35	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppelintegral Reihenfolge und Grenzen Es wäre vielleicht nützlich, die Originalaufgabe hier noch zu veröffentlichen, wenngleich nicht unbedingt nötig. Wenn Du das Integrationsgebiet im Koordinatensystem skizzierst, zeigt sich direkt, dass dieses sowohl x- aus auch y-projizierbar ist (falls die Definition nicht bekannt ist, lohnt es sich, mal reinzuschauen). Die Vertauschung der Differentiale ist also möglich, aber natürlich nicht "einfach mal", weil dann irgendwas besser paßt. Zu beachten ist grundsätzlich: - Die Integrationsvariable steht nicht in den Integralgrenzen ihres zugehörigen Integrals. - Die Integrationsvariable existiert (beim bestimmten Integral) nicht außerhalb ihres zugehörigen Integrals. Daher lautet die 1. Variante: Für jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ von -3 bis 3 laufen wir in y-Richtung den Streifen ab von der x-Achse zum Kreisbogen. $\begin{eqnarray} \int_{-3}^{3} \! \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2} } } \! 4x^{2}y \, \textcolor{red}{dy} \, \textcolor{red}{dx} \end{eqnarray}$ Wollen wir nun $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dy \end{eqnarray}$ vertauschen, heißt das: Für jedes $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ von 0 bis 3 laufen wir in x-Richtung den Streifen ab von der linken zur rechten Kreisgrenze. 2. Variante daher: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{3} \! \int_{-\sqrt{9-y^{2} }}^{\sqrt{9-y^{2} } } \! 4x^{2}y \, \textcolor{red}{dx} \, \textcolor{red}{dy} \end{eqnarray}$ Mach Dir das anhand Deiner Skizze klar. Meine alten Bildchen und noch ein paar Ausführungen zum Vertauschen der Integralgrenzen findest Du hier.
27.06.2020, 11:02	MatheAhnungsloser	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Mühe. Jetzt nähern wir uns meinem eigentlichen Problem. Das was du schreibst, auch das mit der Anpassung der Grenzen durch Projektion auf die entsprechende Achse ist mir alles klar. Mir ist aber eben auch klar, dass wenn ich die Grenzen anpasse, ich dxdy zu dydx tauschen muss, was ja auch Sinn macht. Hier ist es ja aber so, dass Grenze und Integrand nicht zusammen passen. Das ist eine alte Klausuraufgabe, welche lautet: "Lösen die das Doppelintegral und zeichnen Sie den Integrationsbereich. $\begin{eqnarray} \int_{x=-3}^{x=3}\int_{y=0}^{y=\sqrt{9-x^2}}x²4y\,\,dxdy \end{eqnarray}$ " Beim lösen habe ich, weil das so für mich keinen Sinn gemacht hat, einfach $\begin{eqnarray} \int_{x=-3}^{x=3}\int_{y=0}^{y=\sqrt{9-x^2}}x²4y\,\,dydx \end{eqnarray}$ gelöst. Da passen ja nun Grenze und Integrand zusammen. Allerdings wollte ich gern wissen, ob das so legitim ist und wieso das geht, weil eigentlich tausche ich ja die Integrationsreihenfolge (gegenüber dem Original aus der Aufgabe), lass aber die Grenzen stehen. Allerdings ist das Integral so, wie im Aufgabentext geschrieben eigentlich sinnfrei, weil da nichts konstantes rauskommen würde, wenn ich erst eine Variable einsetze und danach nochmal nach ihr integriere. Wieso geht das so? Daher meine ganzes Problemmitder Aufgabe. Ich denke schon, dass meine Lösung das ist, was da hin soll, warum dxdy aus der Originalaufgabe aber einfach gedreht werden darf verstehe ich rein formal eben nicht. Könntest du erklären, was das soll? PS: Das der Aufgabentext ein Tippfehler ist bezweifle ich, daoich es in mehreren Aufgaben so gesehen habe.
27.06.2020, 12:27	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Aufgabe tatsächlich so geschrieben war, kann ich nur spekulieren: a) Es ist schlicht ein Schreibfehler. oder b) Man hat die Differentiale einfach alphabetisch hingeschrieben und dann die Integrationsvariablen extra nochmal zur Klarstellung in den Integrationsgrenzen angegeben, was eigentlich nicht nötig wäre (s. o.). Die Verwirrung wäre dann nur der eigenwilligen Notation geschuldet. Ich gehe davon aus, dass in der Aufgabe auch nicht stand $\begin{eqnarray} d(x,y) \end{eqnarray}$ sonst hättest Du das sicher so zitiert ...
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06.07.2020, 21:22	MatheAhnungsloser	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann sind wir uns einig, dass die Notation eigenwillig ist und in diesem Falle tatsächlich die Integrationsgrenzen die Reihenfolge vorbestimmen, da sonst Blödsinn rauskommt. Danke für deine Hilfe

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