Cauchy-Integralsatz/Potenzreihenentwicklung

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Susanno95 Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Integralsatz/Potenzreihenentwicklung
Guten Abend,
ich brauche Hilfe bei folgenden Aufgaben:
Frage. könnt ihr mir nach meinen eigenen ideen weiterhelfen?

Aufgabe 1:
offen mit stetig. Beweise folgende Aussagen:+



Aufgabe 2:

Berechne mit Hilfe der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben:








Aufgabe 3:
Entwickeln Sie die Funktion jeweils in eine Potenzreihe um

Meine Ideen/Ansätze:

Aufgabe 1:

(I) ja der Faktor kommt ja durch den Kreis zustanden, wenn ich jrzt r=0 setzte bekomm ich ja auch das aber das ist ja nicht bewiesen...
(ii) Also für = hab ich das ja verstanden aber mich irrtiert das f(z)... und ich hab hier kein r drin kannn man den limes dann net weglassen?

Aufgabe 2:
(i) Partialbruchzerlegung gemacht:


und jetzt die Nullstelle -3liegt ja außerhalb des Kreises also wären doch die integrale jeweils 0 oder?

kann mir wer die (i) mal rechnen und dann versuch ich mich mal an der (ii) un (iii)

Aufgabe 3: Also die formel für die Potenzreihe lautet laut VL: habe jetzt erstmal die ersten 5 Ableitungen ausgerechnet:











sehe hier ab n=2 ne regelmäßigkeit ich weiß mir fehlt da noch ein Faktor weiß da aber grad net wie ich den formulieren soll ... es wird ja Der faktor von der Ablitung davor * n genommen

am ende müsst ich doch dann nur noch für z 2 bzw i einsetzten?






Bitte helft mir... traurig traurig traurig traurig traurig
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Integralsatz/Potenzreihenentwicklung
Zitat:
Aufgabe 1:

(I) ja der Faktor kommt ja durch den Kreis zustanden, wenn ich jrzt r=0 setzte bekomm ich ja auch das aber das ist ja nicht bewiesen...

Natürlich kannst du nicht einfach setzen. Du musst schon die Stetigkeit von benutzen. Mit



kann man das Integral als Summe von 2 Integralen schreiben. Mit der Stetigkeit von zeigt man dann, dass der Grenzwert des zweiten Integrals Null ist.

Bei (II) hast du im Prinzip richtig begonnen. Du musst nur auch in die Parametrisierung einsetzen.

Zitat:
Aufgabe 2:
(i) Partialbruchzerlegung gemacht:


und jetzt die Nullstelle -3liegt ja außerhalb des Kreises also wären doch die integrale jeweils 0 oder?

Ja.

Zitat:
kann mir wer die (i) mal rechnen

Weshalb? Das verbleibende Integral ergibt sich doch unmittelbar aus der Cauchy-Formel.

Bei Aufgabe 3 hast du versucht, eine Potenzreihe um den Punkt 1 zu bekommen. Das ist aber nicht die Aufgabe:

Zitat:
Entwickeln Sie die Funktion jeweils in eine Potenzreihe um


Auch sollte man besser nicht den Weg über die Ableitungen wählen, sondern über die geometrische Reihe gehen. Bei beginnt man mit



Für



kann man das als geometrische Reihe schreiben.
Susanno95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier hab ich dann:
Aufgabe 1:



wegen der gleichmäßigen Konvergenz innerhalb eines Kreisringes kann ich jetzt grenzwert reinziehen? oder weil der intrgrationsweg geschlossenist kommt 0 raus?


mit der 1 (i) würde dann ja folgen das dann

Aufgabe 2:
(i)

so und jetzt?

iwie so oder mach ich da wieder was falsch? oh hab keine Ahnung sry... hänge voll auf schlauch


Zur Aufgabe 3 also warum habe ich eine Potenzreihe um z=-1 weil ich betrachte?

Also habe jetzt für z=2 dann

=
oh mann entweder bin ich heute sood oder stell mich echt an .... peinlich...


Dnake hoffe ihr könnt mir noch helfen....
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Original von Susanno95
Aufgabe 2:
(i)


Ich glaube, die Aufgabe ist so gemeint:



mit



Viele Grüße,
Nils
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Aufgabe 1 (I) hätte ich so argumentiert



Wegen der Stetigkeit von kann man beliebig klein machen (kleiner als jedes beliebige ), wenn man genügend klein macht. Also ist der Grenzwert des Integrals Null.

Bei Aufgabe 2 hast du doch das Ergebnis. Vielleich verwirrt dich, dass du ein Integral über hast, aber ein Integral über berechnen sollst Die Integrationsvariable kannst du aber doch einfach in umbenennen. Oder man vertauscht gleich im Integralsatz von Cauchy die Benennungen von und . Er lautet dann



Zitat:
Zur Aufgabe 3 also warum habe ich eine Potenzreihe um weil

Da war ich voreilig. Du hattest ja erst mal nur Ableitungen ausgerechnet. Die an der Entwicklungsstelle ausgewertet, hätte schon zu einer Potenzreihe um den Entwicklungspunkt führen können. Aber der Weg über die geometrische Reihe ist einfacher. Du hast



Um mit dem Zähler zu multiplizieren, musst du ihn auch umschreiben in die Form



Dann ergibt die Multiplikation 3 Potenzreihen in , die man durch Indexverschiebung zu einer Potenzreihe zusammenfasst.
Susanno95 Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt ich habe bei der 2



und dann folgt

für (i) ist das dann

für (ii) wäre das dann was ist denn sin(-i)?


zur 3)
(i)



jetzt sieht es iwie aus mit ner Indexverschiebung würde mit n=3 dann die summe beginnen lassen aber was mach ich mit den Vorfaktoren 3 , 12 und -13??


mit z= i wie komm ich dann von auf den rest kann ich denk ich dann....


danke
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Bei (I) ist im Endergebnis das verloren gegangen.

Zitat:
für (ii) wäre das dann was ist denn sin(-i)?

Im komplexen lässt sich der Sinus durch die Exponentialfunktion ausdrücken. Das habt ihr sicher gehabt.

Zitat:
jetzt sieht es iwie aus mit ner Indexverschiebung würde mit n=3 dann die summe beginnen lassen aber was mach ich mit den Vorfaktoren 3 , 12 und -13??

Das Vorzeichen der solltest du noch mal überprüfen. Die Vorfaktoren musst du schon mit in die Reihe multiplizieren. Wenn ich mich nicht vertan habe, ergibt sich insgesamt




Zitat:
mit z= i wie komm ich dann von auf den rest kann ich denk ich dann....




Die Division durch kann durch Erweitern mit dem konjugiert komplexen noch etwas verschönern.
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